Questões de Geometria plana (áreas e perímetros) no ENEM

Passo 1: comprimento da ciclovia (circunferência): 2 x pi x r = 2 x 3 x 1 = 6 km = 6000 m.

Passo 2: um policial protege até 200 m para cada lado, ou seja, um trecho de 400 m da ciclovia.

Passo 3: número de policiais: 6000 / 400 = 15, alternativa C.

Alternativas tentadoras: 30 vem de usar só 200 m por policial, esquecendo que ele protege os dois lados. 60 e 8 não vêm da divisão correta de 6000 m por 400 m.

Dica: converta tudo para a mesma unidade (km para m) e lembre que o alcance é para os dois lados do ponto.

As três formas têm o mesmo perímetro k.

• Triângulo equilátero: lado k/3. Área = (k/3)² · √3/4 = k²√3/36 ≈ 0,048k².
• Quadrado: lado k/4. Área = (k/4)² = k²/16 ≈ 0,0625k².
• Hexágono regular: lado k/6. São 6 triângulos equiláteros: 6 · (k/6)² · √3/4 = 6 · k²√3/144 = k²√3/24 ≈ 0,072k².

A maior é a do hexágono: k²√3/24. Alternativa A.

A B usa a fórmula do hexágono (3L²√3/2) com L = k, esquecendo que o lado é k/6. A E faz o mesmo com o triângulo (L²√3/4 com L = k).

Dica: com o mesmo perímetro, o polígono regular com mais lados tem maior área.

O centro da lua é um vértice do triângulo equilátero do telhado. A parte da lua escondida é limitada por dois raios da circunferência (os lados do triângulo, que partem do centro) e pelo arco entre eles. O ângulo entre os dois lados é 60°.

Região formada por dois raios e um arco é um setor circular (B).

Por que não as outras: segmento circular é limitado por uma corda e um arco, sem passar pelo centro; cone e triângulo isósceles não têm parte curva; o arco sozinho seria só a borda curva, não a região.

Dica: setor = "fatia de pizza", com vértice no centro da circunferência.

Quantas peças são necessárias? A peça tem 80 cm = 0,8 m de lado.

• Na largura: 3,2 / 0,8 = 4 peças inteiras.
• No comprimento: 3,6 / 0,8 = 4,5, ou seja, 4 peças inteiras e meia peça.

São 4 · 4 = 16 peças inteiras e mais 4 meias peças. Como os recortes são aproveitados, cada peça cortada ao meio dá 2 metades. As 4 metades saem de 2 peças. Total: 16 + 2 = 18 peças.

Comparando as compras:
- A) 5 A = 20 peças, R$ 175,00 (sobram 2).
- B) 1 A + 4 B = 4 + 12 = 16 peças: não basta.
- C) 3 A + 2 B = 12 + 6 = 18 peças, 105 + 54 = R$ 159,00 (sobra 0).
- D) 5 A + 1 B = 23 peças, R$ 202,00.
- E) 6 B = 18 peças, R$ 162,00 (sobra 0).

C e E não deixam sobra, e C é a mais barata. Alternativa C.

A E é a armadilha: também dá 18 peças, mas custa R$ 3,00 a mais. A caixa A sai a R$ 8,75 por peça e a B a R$ 9,00, então vale usar o máximo de caixas A que fecham a conta exata.

Dica: primeiro ache o número exato de peças; depois teste só as compras que fecham esse número e compare os preços.

O que importa é o apoio das bases, que têm raio 4 cm (diâmetro 8 cm). Mas as bordas superiores (raio 5 cm, diâmetro 10 cm) são maiores e impedem que as taças fiquem mais próximas: os centros ficam a 10 cm um do outro.

Comprimento da bandeja: 3 · 10 (distância entre os centros das 4 taças) + 8 (um raio de cada lado, 4 + 4) = 38 cm.

Largura: o diâmetro da base, 8 cm.

Área mínima: 38 · 8 = 304 cm². Alternativa C.

Usar o diâmetro da borda (10 cm) daria 40 · 10 = 400, que é a tentação da alternativa E, mas só as bases precisam estar apoiadas.

Dica: identifique qual medida realmente limita a posição dos objetos.