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Matemática

Questões de Funções exponencial e logarítmica no ENEM

20 questões oficiais do ENEM sobre Funções exponencial e logarítmica, de 2009 a 2025, todas com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 1 fácil, 14 médias, 5 difíceis.

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5 questões de Funções exponencial e logarítmica resolvidas

Tente responder antes de abrir a resolução. No treino, você responde, vê a correção na hora e o seu progresso fica salvo.

Questão 1 · ENEM 2023 · Questão 159média

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

  1. A

    2

  2. B

    4

  3. C

    6

  4. D

    12

  5. E

    18

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Gabarito: D

Passo 1: população necessária. Cada litro serve para 200 000 larvas. Com 5 litros: 5 · 200 000 = 1 000 000 larvas.

Passo 2: crescimento. A população é multiplicada por 10 a cada 3 dias: 100 · 10^(t/3).

Passo 3: resolver. 100 · 10^(t/3) = 10⁶, então 10^(t/3) = 10⁴, e t/3 = 4, logo t = 12 dias (D).

Conferindo: 100 → 1 000 (3 dias) → 10 000 (6) → 100 000 (9) → 1 000 000 (12).

Dica: crescimento "multiplica por k a cada período" é uma PG ou função exponencial.

Questão 2 · ENEM 2019 · Questão 163média

Imagem da questão

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um

1 3, o quarto X 2 e o

valor X , o segundo

X , o terceiro X último X 3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

  1. A

    O primeiro.

  2. B

    O segundo.

  3. C

    O terceiro.

  4. D

    O quarto.

  5. E

    O quinto.

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Gabarito: C

Os índices estão entre 0 e 1 (nenhum é 0 ou 1). Os países têm os valores: X, √X, X^(1/3), X² e X³.

Para um número entre 0 e 1, potências com expoente maior são menores. Então X³ < X² < X. Já as raízes são maiores que o próprio número: raiz de índice maior dá resultado maior. Ordem dos expoentes: 1/3 < 1/2 < 1 < 2 < 3, e o maior valor é o do menor expoente.

Teste com X = 0,64: √X = 0,8; X^(1/3) ≈ 0,86; X = 0,64; X² ≈ 0,41; X³ ≈ 0,26.

O maior é X^(1/3), que é o do terceiro país. Alternativa C.

Quem pensa que a raiz quadrada é a maior confunde com o caso de números maiores que 1.

Dica: entre 0 e 1, quanto menor o expoente, maior o resultado.

Questão 3 · ENEM 2018 · Questão 174difícil

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para log102. Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

  1. A

    1999

  2. B

    2002

  3. C

    2022

  4. D

    2026

  5. E

    2146

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Gabarito: C

Em 1986 a densidade era 100 000 ÷ 0,25 = 400 000 = 4·10⁵ transistores por cm².

A meta é 100 bilhões = 10¹¹ por cm². Se a densidade dobra a cada 2 anos, depois de n dobras ela é 4·10⁵ · 2ⁿ.

4·10⁵ · 2ⁿ = 10¹¹
2ⁿ = 10¹¹ ÷ (4·10⁵) = 10⁶ ÷ 4 = 2,5·10⁵

Aplicando log (com log 2 = 0,30):
n · log 2 = log(10⁶) - log 4 = 6 - 2·0,30 = 5,4
n = 5,4 ÷ 0,30 = 18 dobras.

Cada dobra leva 2 anos: 18 · 2 = 36 anos. 1986 + 36 = 2022. Alternativa C.

Quem esquece de dividir pela área (0,25 cm²) erra a densidade inicial e encontra outros anos, como 2026.

Dica: crescimento que dobra a cada período é exponencial; use logaritmo para achar o expoente.

Questão 4 · ENEM 2016 · Questão 160média

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11). O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

  1. A

    22.

  2. B

    50.

  3. C

    100.

  4. D

    200.

  5. E

    400.

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Gabarito: D

A temperatura cai 1% a cada 30 min, então ela é multiplicada por 0,99 a cada período. Depois de n períodos: 3 000 · 0,99^n = 30.

Dividindo: 0,99^n = 0,01. Aplicando log:

n · log(0,99) = log(0,01) = -2.

Calcule log(0,99): 0,99 = 99/100 = (9 · 11)/100, então log(0,99) = 2·log 3 + log 11 - 2 = 2(0,477) + 1,041 - 2 = 0,954 + 1,041 - 2 = -0,005.

Logo n = -2 / -0,005 = 400 períodos de 30 min = 200 horas. Alternativa D.

O erro comum é parar em n = 400 e responder 400 (esquecendo que cada período é meia hora).

Dica: equações exponenciais se resolvem aplicando logaritmo; confira sempre a unidade pedida.

Questão 5 · ENEM 2013 · Questão 166difícil

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)^(kt), onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para log₁₀ 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

  1. A

    27

  2. B

    36

  3. C

    50

  4. D

    54

  5. E

    100

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Gabarito: E

Use a meia-vida para achar a relação com k. Em t = 30, a massa é A/2:

(2,7)^(30k) = 1/2

Queremos o t em que a massa é 10% de A:

(2,7)^(kt) = 1/10

Escreva (2,7)^(kt) como potência de (2,7)^(30k): (2,7)^(kt) = [(2,7)^(30k)]^(t/30) = (1/2)^(t/30).

Então (1/2)^(t/30) = 1/10. Aplicando log na base 10:

(t/30) · log(1/2) = log(1/10)
(t/30) · (−0,3) = −1
t/30 = 1/0,3 = 10/3
t = 100 anos. Alternativa E.

Não é preciso descobrir k nem usar o 2,7: a base some na conta. A alternativa A (27) parece próxima de uma meia-vida, mas depois de 30 anos ainda resta 50% da massa.

Dica: em decaimento, escreva a fração restante como (1/2) elevado ao número de meias-vidas.

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