Questões de Análise combinatória no ENEM

Distribuir 8 presentes diferentes: mais velho (3), mais novo (3) e do meio (2). O mais velho recebe ou a bicicleta ou o celular, mas não os dois.

Passo 1 – Presentes do mais velho.
- Escolher qual dos dois especiais ele recebe: 2 maneiras.
- Completar com 2 dos 6 outros presentes (sem bicicleta nem celular): C(6,2) = 15.
- Total: 2 × 15 = 30.

Passo 2 – Presentes do mais novo. Restam 5 presentes. Ele recebe 3: C(5,3) = 10.

Passo 3 – Filho do meio. Os 2 que sobram. 1 maneira.

Total: 30 × 10 × 1 = 300. Alternativa C.

A alternativa E (560) é a conta C(8,3) × C(5,3) sem a restrição. Ela conta também casos em que o mais velho recebe os dois ou nenhum dos presentes especiais.

Dica: aplique a restrição primeiro, no filho que a possui, e depois distribua o que sobra.

Teclas disponíveis: 1, 2, 5, 7 e 0. Pela figura, as letras são: tecla 2 (A, B, C), tecla 5 (J, K, L) e tecla 7 (P, Q, R, S). A tecla 1 e a tecla 0 não têm letras.

Algarismos: 2 algarismos distintos entre 5 opções: 5 x 4 = 20 possibilidades.

Letras: há 3 + 3 + 4 = 10 letras disponíveis. Três letras diferentes: 10 x 9 x 8 = 720.

Total = 20 x 720 = 14 400. Alternativa B.

Quem esquece que as letras só existem em 3 das 5 teclas, ou conta letras repetidas, chega a outros valores.

Dica: princípio multiplicativo, atenção a "distintos" (sem repetição) e a quais caracteres realmente estão disponíveis.

Ideia: use o princípio multiplicativo para contar as configurações sem a cor e depois descubra quantas cores são necessárias.

1. Modelos: 7. Motores: 2.
2. Opcionais: são 3 itens e o cliente pode escolher qualquer combinação (nenhum, um, dois ou três). Cada item entra ou não: 2 · 2 · 2 = 8 combinações.
3. Sem a cor: 7 · 2 · 8 = 112 configurações.
4. Com n cores: 112 · n. Para "mais de 1 000", precisamos de 112n > 1 000, ou seja, n > 8,9...
5. O menor inteiro é n = 9, alternativa B. (Com 8 cores seriam 896 configurações, menos que 1 000.)

Por que as outras erram: a alternativa A (8) dá apenas 896 configurações, abaixo de 1 000. Valores maiores, como 11 ou 18, passam de 1 000, mas não são o mínimo.

Dica: princípio multiplicativo e subconjuntos: n itens geram 2 elevado a n combinações (incluindo "nenhum").

Tome A como origem. Pela malha, B está 4 quadras à direita e 3 acima; C está 2 quadras à direita e 2 acima.

Total de caminhos de A até B (só → e ↑): são 4 passos para a direita e 3 para cima, em qualquer ordem:

7!/(4! · 3!) = 35.

Caminhos que passam por C:

• A até C: 2 → e 2 ↑ = 4!/(2! · 2!) = 6
• C até B: 2 → e 1 ↑ = 3!/(2! · 1!) = 3
• Passando por C: 6 · 3 = 18

Sem passar por C: 35 − 18 = 17. Alternativa C.

A alternativa D (35) esquece de descontar os caminhos que passam pela casa de Carlos.

Dica: para "sem passar por", conte todos os caminhos e subtraia os que passam pelo ponto proibido.

Conte todos os agrupamentos possíveis e tire os que não servem.

Número de formas de dividir 8 pessoas em 4 duplas (sem ordem):
C(8,2) · C(6,2) · C(4,2) · C(2,2) ÷ 4! = 28 · 15 · 6 · 1 ÷ 24 = 105.

Agora tire as formações com os dois canhotos na mesma dupla. Se eles formam uma dupla, sobram 6 pessoas para formar 3 duplas:
C(6,2) · C(4,2) · C(2,2) ÷ 3! = 15 · 6 · 1 ÷ 6 = 15.

Formações válidas: 105 - 15 = 90. Alternativa C.

A alternativa E (105) esquece a restrição. A conta C(8,2)·C(6,2)·... sem dividir por 4! contaria a mesma formação várias vezes, porque a ordem das duplas não importa.

Dica: quando os grupos são todos iguais (sem nome), divida pelo fatorial do número de grupos.