Questões de Equações e inequações no ENEM

Custos por tonelada. Reciclar custa R$ 500, que é 5% do custo do plástico de petróleo. Então o plástico de petróleo custa 500 / 0,05 = R$ 10 000 por tonelada.

Produção e custo do mês atual.
- Total: 110 + 80 = 190 t.
- Custo: 110 × 10 000 + 80 × 500 = 1 100 000 + 40 000 = R$ 1 140 000.

Meta. Reduzir pelo menos 50%, então o custo deve ser no máximo 570 000.

Seja x o número de toneladas recicladas (190 − x vêm do petróleo):

500x + 10 000(190 − x) ≤ 570 000
500x + 1 900 000 − 10 000x ≤ 570 000
−9 500x ≤ −1 330 000
x ≥ 140

Mínimo: 140 toneladas. Alternativa B.

Quem mantém as 80 toneladas recicladas e aplica só os 50% sobre uma das parcelas chega a números maiores.

Dica: monte a inequação de custo total com uma variável. Lembre que dividir por número negativo inverte o sinal.

Seja S a soma das notas.

• Média correta: S/4.
• Média errada: S/5, que é 1 unidade menor.

Então S/4 - S/5 = 1, ou seja, (5S - 4S)/20 = 1, logo S = 20.

Média correta = 20/4 = 5. Alternativa B.

As alternativas 19 e 21 vêm de somar ou subtrair 1 da soma, sem resolver a equação. O valor 4 é a média errada (20/5).

Dica: transforme o texto em equação com a soma das notas como incógnita.

Pesca total com n ajudantes: 1 ajudante: 300 kg; a partir do segundo, cada ajudante a mais acrescenta 100 kg. Então: n = 2: 400; n = 3: 500; n = 4: 600; n = 5: 700 kg.

Lucro = receita − custo fixo − salários − 4% da receita.
Receita = 5 · kg. Tirando os 4% repartidos, sobra 96%: lucro = 4,8 · kg − 900 − 250n.

• n = 1: 4,8 · 300 = 1 440; 1 440 − 900 − 250 = 290
• n = 2: 4,8 · 400 = 1 920; 1 920 − 900 − 500 = 520
• n = 3: 4,8 · 500 = 2 400; 2 400 − 900 − 750 = 750
• n = 4: 4,8 · 600 = 2 880; 2 880 − 900 − 1 000 = 980

A meta é 800. Com 3 ajudantes dá 750 (não basta); com 4 dá 980. Mínimo: 4 ajudantes (D).

Dica: monte uma fórmula de lucro (receita − despesas) e teste os casos, já que há poucos valores possíveis.

Passo a passo:

1. Sejam a = volta do circuito maior e b = volta do menor (em metros).
2. Primeiro treino: 3a + 2b = 1 800. Segundo trecho: 2a + b = 1 100.
3. Da segunda: b = 1 100 - 2a. Na primeira: 3a + 2(1 100 - 2a) = 1 800, então 3a + 2 200 - 4a = 1 800 e a = 400. Logo b = 300.
4. No segundo dia: 400x + 300y = 5 000, ou seja, 4x + 3y = 50, com x e y inteiros não negativos.
5. Para ter o maior número de voltas, use o máximo possível do circuito menor (300 m). Com y = 16, 3y = 48 e sobram 2, que não é múltiplo de 4. Com y = 14: 3y = 42, falta 8, então x = 2. Total = 2 + 14 = 16.
6. Outras soluções dão menos voltas: x = 5 e y = 10 dá 15; x = 8 e y = 6 dá 14.

Resposta: alternativa E.

Por que as outras erram: 15 e 14 são soluções possíveis, mas não são as que têm mais voltas.

Dica: monte um sistema com os dois treinos e depois teste as soluções inteiras da equação, privilegiando o circuito mais curto.

Com h = 16, a regra com módulo fica:

|2 · 16 + b − 63,5| ≤ 1,5 → |b − 31,5| ≤ 1,5.

Um módulo menor ou igual a 1,5 significa que o valor de dentro fica entre −1,5 e 1,5:

−1,5 ≤ b − 31,5 ≤ 1,5

Somando 31,5 nos três membros: 30 ≤ b ≤ 33. Alternativa C.

A condição 16 ≤ h ≤ 19 já vale, pois h = 16.

A alternativa E (b ≤ 33) aparece para quem ignora o módulo e resolve só 2h + b − 63,5 ≤ 1,5. As alternativas B e D trazem só metade do intervalo.

Dica: |x − a| ≤ k equivale a a − k ≤ x ≤ a + k.