Questões de Sistema de numeração e algarismos da OBMEP

Como AAA = 100 A + 10A + A = 111 A = 3 x 37 x A, temos que AB x C = 3 x 37 x A. Como 37 é primo e maior que 9, ele não pode dividir C; logo, 37 divide AB. Assim AB = 37 ou 74.

Se AB = 37, C = 9 resolve a conta, com A = 3, B = 7 e C = 9.

Se AB = 74, ou seja, A = 7, então não há solução inteira para 74 x C = 111 x 7 = 777. Assim, a única possibilidade é A = 3, B = 7 e C = 9, e A + B + C = 19.

Como o algarismo das unidades de 2331 é 1, segue que A + B + C + D tem 1 como seu algarismo das unidades. Por outro lado, o algarismo dos milhares de 2331 é 2, o que mostra que “vai 2” quando se efetua a soma A + B + C + D na casa das centenas. Logo A + B + C + D = 21.

Outra solução: Seja x = A + B + C + D. A resultado da conta armada pode ser escrito como 100x + 10x + x = 2331, ou seja, 111x = 2331. Logo x = 2331/111 = 21.

Para facilitar a exposição, vamos chamar números pares positivos com soma de algarismos igual a 2026 de números legais. Observamos primeiro que números legais existem: por exemplo, o número que se escreve como 2026 algarismos 1 seguidos do algarismo 0 nas unidades; logo, existe o menor número legal, que é o que estamos procurando.

Seja n o número de algarismos de um número legal. A maior soma possível dos algarismos de um número de n algarismos é 9_n_; logo, 9_n_ ≥ 2026, ou seja, n ≥ 2026/9 > 225. Em outras palavras, qualquer número legal tem pelo menos 226 algarismos. Observamos que números legais com exatamente 226 algarismos existem; por exemplo, 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 é legal. Logo, o menor número legal tem 226 algarismos.

Como 2026 = 225 × 9 + 1, vemos que o primeiro algarismo à esquerda de um número legal com 226 algarismos não pode ser 1, pois, nesse caso, todos seus outros algarismos seriam 9 e ele seria ímpar. O exemplo já citado

nos mostra, por outro lado, que existem números legais com 226 algarismos que têm 2 como seu primeiro algarismo à esquerda. Observamos agora que qualquer número dessa forma é escrito com mais 224 algarismos 9 e um algarismo 8; de fato, se esse número tivesse no máximo 223 algarismos 9, a soma de seus algarismos não poderia exceder 223 × 9 + 2 + 8 + 8 = 2025. Assim, o menor número par que podemos escrever com essas condições é 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 na casa das unidades, que é, então, o menor número legal, ou seja, é o exemplo anterior.

Observando que AAA = A × 111 = A × 3 × 37, temos as seguintes possibilidades:

A = 1. Não serve pois teríamos, obrigatoriamente, AB = 37 e o primeiro dos A’s na conta seria 3 e não 1.

A = 2. Não serve pois teríamos AB = 37 com B = 6 ou AB = 74 com B = 3. Nos dois casos, olhando para o primeiro dos A’s na conta, teríamos A ≠ 2.

A = 3. Serve pois AB seria 37 e, consequentemente, A = 3, B = 7 e C = 9.

A = 4. Não serve, AB seria 74 e C = 6, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 ≠ 4.

A = 5. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.

A = 6. Não serve, AB seria 74 e C = 9, ou seja, o primeiro A da conta seria 7 ≠ 6.

A > 6. Não serve, pois teríamos C com 2 algarismos ou AB com 3 algarismos.

Logo, C = 9.

Considerando somente as unidades em ambos os lados da igualdade (EU)² = MEU, observamos que U² termina com o algarismo U. Isso só acontece com os algarismos 1,5 ou 6. Logo, a letra U deve ser um desses algarismos. Como 31² = 961 e 32² = 1024, e considerando que (EU)² é igual ao número MEU de três algarismos, segue que o número EU deve ser maior do que 10 e menor do que 32. Além disso, E e U são algarismos diferentes e não nulos. Assim, as possibilidades para o número EU são: 15, 16, 21, 25, 26 e 31. Testando essas possibilidades, como feito abaixo, segue que a única correta é 25² = 625.

• 15² = 225
• 16² = 256
• 21² = 441
• 25² = 625
• 26² = 676
• 31² = 961

Logo, MEU representa o número 625 e M + E + U = 13.

Na conta, temos: 5 x GOTA = AGUA; olhando para as casas das unidades, como A é um algarismo, concluímos que A = 0 ou A = 5.

Como o resultado AGUA começa com A, então A = 5, pois senão G=0; além disso, zeros à esquerda de um número não são escritos.

Olhamos agora para as casas dos milhares. Temos que 5 x G ≤ A. Como A = 5 e G é um algarismo diferente de zero, então G = 1. Deste modo, até agora, a conta tem o seguinte aspecto:

O algarismo que O representa só pode ser igual a 0. Não pode ser igual a 1 pois letras diferentes representam algarismos diferentes e não pode ser maior do que 1 pois não existe o transporte de valores das centenas para a casa dos milhares (o “vai um”), já que 5 x G = 5 x 1 = 5 = A.

Analisando agora a casa das dezenas, concluímos que 10 ≤ 5 x T + 2 < 20, pois deve haver o transporte de uma unidade da casa das dezenas para a das centenas, já que 5 x O + 1 = 5 x 0 + 1 = 1 = G.

Assim, só há duas possibilidades para T: ou T = 2 ou T = 3.

Se T = 2, então 5 x T + 2 = 12 e U = T = 2, teríamos algarismos iguais para letras diferentes e essa possibilidade não serve.

Se T = 3, então 5 x T + 2 = 17, de onde se conclui que U = 7. Esta é a solução procurada e a conta completa é a seguinte: