Questões de Sequências e padrões da OBMEP

Podemos analisar a ação de cada ponteiro independentemente e “concatenar” os resultados das mudanças de cores, pois a cor de um número muda cada vez que um ponteiro, não importa qual, aponta para a hora que o relógio representa.

Às 3h30min o ponteiro das horas terá apontado para os números 1, 2 e 3, alterando suas cores. Esses são os únicos números alterados pelo movimento do ponteiro das horas.

O ponteiro dos minutos terá dado três voltas e meia, portanto terá alterado os números 1 a 6, quatro vezes e os números de 7 a 12, três vezes.

Assim, a cor dos números de 1 a 3 terá sido alterada 1 + 4 = 5 vezes (uma vez pelo ponteiro das horas e quatro vezes pelo ponteiro dos minutos), os números de 4 a 6, quatro vezes (apenas pelo ponteiro dos minutos), e os números de 7 a 12, três vezes (apenas pelo ponteiro dos minutos).

Se o número de alterações é par, ele fica preto, se é ímpar, ele fica branco. Então, os números 4, 5 e 6 ficam pretos e os restantes ficam brancos.

A cada 5 giros a estrelinha volta à sua posição original, com a ponta amarela para cima; assim, depois do décimo segundo giro ela estará como na posição que estava após o segundo giro, com a ponta azul para cima.

Vamos contar em grupos de 5.

Na 1ª caixa João colocou as bolas 1 e 2,

na 2ª caixa ele colocou as bolas 3, 4 e 5 = 1 x 5 = (2/2) x 5,

na 3ª caixa ele colocou as bolas 6 e 7,

na 4ª caixa ele colocou as bolas 8, 9 e 10 = 2 x 5 = (4/2) x 5,

na 5ª caixa ele colocou as bolas 11 e 12,

na 6ª caixa ele colocou as bolas 13, 14 e 15 = 3 x 5 = (6/2) x 5 e, procedendo indutivamente, vemos que

na 808ª caixa ele colocou as bolas 2018, 2019 e 2020 = 404 x 5 = (808/2) x 5,

na 809ª caixa ele colocou as bolas 2021, 2022,

na 810ª caixa ele colocou as bolas 2023, 2024 e 2025.

(utilizamos o fato que 2023 dividido por 5 tem quociente 404 e resto 3).

A quantidade de números pares entre 1 e 99 é (99 − 1)/2 = 49 e a de números ímpares é 99 − 49 = 50.

As vagas ocupadas são as que têm os números: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97 e 99.

A figura 1 é formada por 5 bolinhas em formato de Y e, a partir dela, quando passamos de uma figura para a seguinte, a próxima figura tem 3 bolinhas acrescidas, sendo uma em cada ponta do Y. Logo, a 15ª figura terá 5 + 3 × 14 = 47 bolinhas.

Mais geralmente, a quantidade de bolinhas na n-ésima figura é 5 + 3 (n − 1) = 3 n + 2.

Basta observar que da Torre 1 para a Torre 2 foram acrescentados 5 = 2 + 1 x 3 cartões. De fato, para construir a Torre 2 a partir da Torre 1, foram acrescentados dois novos cartões (em contato com a mesa) e, a seguir, no topo foram acrescentados mais 3 cartões. De modo análogo, para construir a Torre 3 a partir da Torre 2, foram acrescentados à Torre 2 mais 8 = 2 + 2 x 3 cartões, ou seja, dois novos cartões em contato com a mesa e 2 grupos de três cartões acima deles. Continuando, da Torre 3 para a 4 devem ser acrescentados 2 + 3 x 3 = 11 cartões e assim sucessivamente, sempre colocando 2 cartões novos em contato com a mesa e mais grupos de 3 cartões até completar a torre seguinte. Concluímos, desse modo, que da torre 10 para a torre 11 devem ser acrescentados 2 + 10 x 3 = 32 cartões.

Observe que a Torre N+1 é obtida da Torre N acrescentando-se 3N + 2 cartões.