OBMEP · Aritmética
69 questões oficiais da OBMEP sobre Razão, proporção e grandezas, de 2005 a 2025, com gabarito e solução oficial. Dificuldade estimada: 17 fáceis, 38 médias, 14 difíceis.
Escolha o nível e treine só este assunto, com correção na hora e o seu progresso salvo. O treino por assunto faz parte do plano da prova.
Uma moto percorre 1 km por minuto. Em quantos por cento deve ser aumentada a sua velocidade para ela percorrer 1 km em 40 segundos?
20%
30%
40%
50%
75%
A moto inicialmente tem a velocidade V1 = 1 km/60 s. Queremos a sua velocidade seja V2 = 1 km/40s. Logo,
V2/V1 = (1/40)/(1/60) = 60/40 = 3/2
Ou seja, V2 = 1,5 V1. Portanto, a velocidade deve ser aumentada em 50% om relação à velocidade original.
Um celular tem espaço para gravar 3 horas de vídeo em qualidade normal ou 2 horas em alta qualidade. Se já foram gravadas 2 horas de vídeo em qualidade normal, qual é o tempo que resta para gravar vídeos em alta qualidade?
90 minutos
40 minutos
120 minutos
60 minutos
30 minutos
O tempo que resta é uma hora de gravação em qualidade normal e queremos saber quanto de tempo corresponde a essa hora em alta qualidade.
Três horas (180 minutos) em qualidade normal correspondem a 2 horas (120 minutos em qualidade alta); dividindo proporcionalmente por 3, concluímos que 180 ÷ 3 = 60 minutos em qualidade normal, correspondem a 120 ÷ 3 = 40 minutos em alta qualidade.
Um carro viaja de Pirajuba a Quixajuba com velocidade constante de 60 km/h, em uma estrada que passa por Arraial. Às 11 horas, o carro havia percorrido 1/4 da distância entre Pirajuba e Arraial e, às 15 horas, havia percorrido 3/4 da distância entre Arraial e Quixajuba. Qual é a distância entre Pirajuba e Quixajuba?
150 km
180 km
300 km
320 km
400 km
Denote por x a distância entre Pirajuba e Arraial e por D a distância entre Pirajuba e Quixajuba. O problema pede D.
Em 4h (das 11h às 15h) o viajante percorreu 4 x 60 = 240 km. Esses 240 km equivalem a ¾ de x mais ¾ de (D − x), ou seja, (¾) x + (¾) (D − x) = 240. Logo, (3/4) D = 240 ⇒ D = 320 km.
Uma fábrica recebeu uma encomenda de 100 kg de bombons para entregar em 10 dias. Após 5 dias, seus 3 funcionários produziram 20 kg de bombons. No mínimo, quantos funcionários extras a fábrica precisa contratar para atender a encomenda no prazo, supondo-se que todos os funcionários tenham a mesma produção diária?
5
7
8
9
12
Seja n o número de funcionários extras. Já foram produzidos nos primeiros 5 dias 20 Kg de bombons, com apenas 3 funcionários. O desafio é produzir nos próximos 5 dias 100 − 20 = 80 kg de chocolate com 3 + n funcionários. Como a produção é a mesma para todos os funcionários, temos a seguinte relação de proporcionalidade:
3/(3 + n) = 20/80
Logo, n = 9.
Outra solução: Se cada grupo de 3 funcionários produz 20 kg em 5 dias, para produzir 80 kg em 5 dias, são necessários 4 grupos de 3 funcionários, ou seja, 3 × 4 = 12 funcionários, pois 80 = 4 × 20. Logo, será necessário contratar mais 12 − 3 = 9 funcionários.
Os estudantes de uma escola foram divididos em equipes de 8 meninas e 5 meninos cada uma. Se nessa escola há 60 meninas a mais do que meninos, qual é o número total de estudantes?
130
260
390
520
650
Em um grupo de 13 estudantes temos 8 meninas e 5 meninos, ou seja, 3 meninas a mais. Em 20 grupos de 13 estudantes teremos exatamente 60 meninas a mais do que meninos. Logo, no total temos 20 × 13 = 260 estudantes.
Alice colocou um litro (1000 cm3) de água em uma jarra e mediu o nível da água. Depois ela colocou um objeto maciço de prata na jarra e mediu novamente o nível da água, conforme a figura. A massa de um centímetro cúbico de prata é 10,5 gramas. Qual é a massa desse objeto?
1050 g
1500 g
1800 g
2100 g
3000 g
Vamos calcular primeiramente o volume do objeto. Como a jarra é cilíndrica, o volume ocupado pela água é proporcional à altura. Olhando a ilustração, sem o objeto mergulhado, o volume de água na jarra é 15 x A = 1000 cm3, sendo que A é a área da base do cilindro. O volume da água mais o do objeto é V = 18 x A. Logo, substituindo o valor de A nessa última equação, obtemos: V = 18 x (1000/15) = 1200 cm3. O objeto ocupa, portanto, 200 cm3, o que equivale a 10,5 x 200 = 2100 g.