Questões de Malhas, dobraduras e visualização da OBMEP

Nos quadrados em que no final aparece um adesivo pequeno, não há adesivos médios. Nos quadrados em que aparece um adesivo médio, há no máximo 4 adesivos médios. Nos quadrados em que aparece um adesivo grande, há no máximo 3 adesivos médios. Logo, o número máximo de adesivos médios é 3 x 4 + 3 x 3 = 21.

Outra solução: Darlene colou 36 adesivos no papel transparente, um adesivo em cada um dos 36 quadradinhos do quadriculado 6×6, bem no centro do quadradinho.

Na primeira dobra, metade dos 36 quadradinhos se sobrepõem e o resultado é um quadriculado com 18 quadradinhos.

Cada quadradinho terá 2 adesivos sobrepostos.

Na segunda dobra, metade dos 18 quadradinhos se sobrepõem e o resultado é um quadriculado com 9 quadradinhos. Cada quadradinho terá 4 adesivos sobrepostos.

Na figura vemos o resultado após a segunda dobra, com os 9 quadradinhos e 4 adesivos sobrepostos em cada quadradinho. Sobrepostos a cada adesivo de tamanho pequeno estão, com certeza, outros três adesivos de tamanho pequeno. Logo o menor número de adesivos de tamanho pequeno que Darlene pode ter colado é 3 × 4 = 12. Já o menor número de adesivos de tamanho grande que Darlene pode ter colado é 3.

Assim, o maior número de adesivos de tamanho médio que Darlene pode ter colado é 36 – 12 – 3 = 21.

A visualização do item (A) é possível se Antônio colocar o cubinho em cima de qualquer cubinho da figura. Por exemplo,

A visualização do item (B) é possível se Antônio colocar o cubinho no chão, ao lado de dois cubinhos.

Analogamente, a visualização do item (E) é possível se Antônio colocar o cubinho no chão, ao lado de dois cubinhos.

A visualização do item (C) é possível se Antônio colocar o cubinho no chão, na fileira com três cubinhos que tem dois cubinhos em cima dos dois primeiros, e colocando o cubinho novo ao lado do cubinho desta fileira que não tem cubinhos em cima dele.

A visualização do item (D) não é possível pois Antônio precisaria colocar dois cubinhos no chão, e ele coloca somente um cubinho.

Diana colocou somente um colar sobre a mesa, por isso a parte que falta para a sua foto, ao ser juntada com a parte apresentada inicialmente, deve formar apenas 1 linha fechada - não importa se há sobreposições na linha do colar. Consequentemente, todas as vezes em que as partes, juntas, formam mais de uma linha fechada, não se tem a foto de Diana.

Observando-se a camada superior do cubo, percebe-se que ele foi girado 180°. Ainda na camada superior, podemos contar 5 cubinhos brancos. Na camada intermediária, podemos ver 8 dos 9 cubinhos que o compõem. Destes, 6 são brancos. Na camada inferior, podemos ver 8 de seus 9 cubinhos; destes, 5 são brancos.

Assim, o número máximo de cubinhos brancos ocorre quando os dois cubinhos interiores (que não podem ser visualizados em nenhuma das diferentes perspectivas) também são brancos. Nesse caso, temos um total de 5 + 6 + 5 + 2 = 18 cubinhos brancos.

A formiguinha caminha inicialmente para o norte. Notamos que, depois de passar duas placas consecutivas na sequência ou na sequência , a formiguinha preserva o sentido de sua caminhada. Assim, depois de passar pela sequência das 6 primeiras placas, , ela continuou andando no sentido norte. As duas últimas placas, e , indicam que ela mudou o sentido de sua caminhada de norte para oeste e depois de oeste para sul; ou seja, após passar pela última placa a formiguinha passou andar no sentido sul (S).

Para determinar os giros a serem feitos, é preciso se colocar no papel do motorista. Os giros, como indicados na figura, são: inicialmente para a direita, depois para a esquerda e, finalmente, para a esquerda.