Questões de Lógica e quebra-cabeças da OBMEP

Vamos pensar de trás para a frente. Antes de o caminhão 1 sair, o 2 deve se mover quatro casas para baixo. Para que isso seja possível, o 4 deve ter dado marcha a ré um quadrado para a esquerda. Para que isso aconteça, o 5 deve ter se movimentado três quadrados para cima. Dessa maneira, a menor sequência possível de movimentos para que o 1 tenha sua saída liberada é

• 5 se move três quadrados para cima;
• 4 se move um quadrado para trás;
• 2 se move três quadrados para baixo.

Dessa maneira, o terceiro caminhão a ser movimentado é o 2.

Existe uma cidade da qual partem três estradas; a primeira tentativa seria fazer com que de cada cidade partissem exatamente três estradas, porém isso é impossível. De fato, se de cada uma das sete cidades partissem exatamente três estradas, no total teríamos 3 x 7 = 21 trajetos. Aqui, nesses 21 trajetos se contam de maneira distinta o percurso de uma cidade A para B e de uma cidade B para A. Porém, esses dois trajetos, de A para B e de B para A são feitos na mesma estrada, a que liga A para B (ou B para A). Portanto, o número de estradas deve ser a metade do número de trajetos. Como 21 é um número ímpar, então não é possível criar uma configuração da qual partam exatamente três estradas de cada uma das sete cidades. Entretanto, é possível criar uma configuração da qual partam de cada uma das sete cidades exatamente quatro estradas. Nesse caso temos 4 x 7 = 28 trajetos e, portanto, 14 estradas.

É possível criar uma configuração da qual partem exatamente 4 estradas, como exemplificado na figura.

Na figura do enunciado já temos 5 estradas, portanto, faltam incluir 9 estradas.

Para Joana retirar uma lata da pilha, ela deve, antes, retirar todas as outras latas que se apoiam na primeira, sempre que houver latas apoiadas. Há duas latas apoiadas na lata azul, as quais, por sua vez, são apoio de outras duas latas, e assim por diante até se chegar à lata do topo da pilha. Note que, apesar de a lata azul estar na camada mais inferior da pilha, nem todas as latas das camadas superiores precisam ser retiradas, pois não se apoiam na lata azul, nem em uma lata que se apoia na azul. Por isso, as latas marcadas com um X devem ser removidas antes de se remover a lata azul.

Removidas as latas marcadas com um X, a pilha fica como na segunda figura acima.

Alguma formiguinha deve mudar de posição, pois a terceira linha e a terceira coluna do tabuleiro têm mais de duas formigas. Para que fiquem em cada linha e em cada coluna exatamente duas formigas, basta movimentar a formiga como ilustrado ao lado.

Vamos pensar nas netas como as letras A, B, C, D e E e descrever a ordem em que elas chegaram como uma sequência dessas letras, lida da esquerda para a direita. O enunciado nos diz que nessa sequência

1. o B está à esquerda do A (Beatriz chegou antes de Ana);
2. o B está à direita do D (Beatriz chegou depois de Daniela);
3. o bloco CDE aparece sem letras intermediárias e com as letras nessa ordem (Cláudia, Daniela e Érica chegaram uma em seguida da outra, nessa ordem).

As informações 2 e 3 mostram que o B aparece à direita do bloco CDE, e a informação 1 diz que o A está à direita do B. A nossa sequência é, então, CDEBA, e concluímos que a primeira a chegar foi Cláudia.

Por observação direta da ilustração, vemos que o edifício A tem 12 janelas na frente. Logo, tem 11 ou menos janelas atrás. O edifício B tem 10 janelas na frente. Logo, tem 11 ou mais janelas atrás. Como os dois prédios têm o mesmo número de janelas na parte de trás, concluímos que esse número só pode ser 11. Como nas laterais não há janelas, os dois edifícios juntos têm 12 + 11 + 10 + 11 = 44 janelas.