32 questões oficiais da OBMEP sobre Gráficos, tabelas e médias, de 2005 a 2024, com gabarito e solução oficial. Dificuldade estimada: 25 fáceis, 5 médias, 2 difíceis.
Treine Gráficos, tabelas e médias com 32 questões da OBMEP
Escolha o nível e treine só este assunto, com correção na hora e o seu progresso salvo. O treino por assunto faz parte do plano da prova.
Em um conjunto de números inteiros positivos, a média aritmética dos dois maiores é 50, dos três maiores é 48, dos quatro maiores é 46 e assim por diante, diminuindo de 2 em 2. Qual é o menor número que pode pertencer a esse conjunto?
A
2
B
1
C
5
D
4
E
3
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Gabarito: D
A soma dos dois maiores números é 100. A soma dos três maiores números é 144 = 48 × 3; logo, o “terceiro maior número” é 44. A soma dos quatro maiores números é 184 = 46 × 4, logo o quarto maior número é 40. Prosseguindo com essa conta, vemos que os números vão diminuindo de 4 em 4 do maior para o menor. Assim, o maior inteiro positivo no conjunto é 4.
Outra solução:
Para cada n ≥ 2, a média dos n maiores números é 50 − 2(n − 2). Logo, a soma Sn dos n maiores números é n (50 − 2(n − 2)) = 54_n_ − 2_n_2.
O n-ésimo número é, portanto, igual a Sn − Sn − 1 = (54_n_ − 2_n_2) − (54(n − 1) − 2(n − 1)2) = 56 − 4_n_.
Logo, os números diminuem de 4 em 4 e o menor valor positivo possível para um elemento do conjunto é 4.
Questão 2 · OBMEP 2022 · Nível 3 · Questão 3fácil
A professora Brenda aplicou uma prova para 25 estudantes e cometeu um erro ao escrever a nota da aluna Aline, registrando 3,6 ao invés de 8,6. Com esse erro, a média das notas foi 7,2. Qual passou a ser a média das notas depois de corrigido esse erro?
A
7,3
B
7,4
C
7,45
D
7,5
E
7,6
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Gabarito: B
A turma tem 25 alunos. Portanto, para calcular a média das notas, podemos dividir a nota de cada aluno por 25 e somar os resultados. O erro da professora foi de 8,6 − 3,6 = 5,0 pontos. Dividindo o erro por 25, encontramos 0,2. Esse valor deve ser somado à média original, obtendo-se o valor 7,2 + 0,2 = 7,4.
Em outras palavras, se an, n = 2, 3, …, 25 são as notas dos colegas da Aline, então a média corrigida é
Após a correção de uma prova com quatro questões, verificou-se que 5% dos alunos acertaram apenas uma questão, 40% acertaram duas e 25%, três. Se a média de acertos foi de duas questões por aluno, qual é o percentual de alunos que erraram todas as questões?
A
5%
B
10%
C
20%
D
25%
E
30%
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Gabarito: C
Um aluno pode acertar de 1 a 4 questões ou errar todas. A média é dada por
0,05 × 1 + 0,40 × 2 + 0,25 × 3 + y × 4 = 2,
em que y representa a porcentagem de alunos que acertou 4 questões. Note que incluir o zero não altera a média. Temos que y = 0,10, ou seja, 10% dos alunos acertaram 4 questões e, portanto, 100% - (5%+40%+25%+10%) = 20% dos alunos erraram todas as questões.
Questão 4 · OBMEP 2018 · Nível 3 · Questão 3fácil
Os produtos A, B e C foram avaliados pelos consumidores em relação a oito itens. Em cada item os produtos receberam notas de 1 a 6, conforme a figura. De acordo com essas notas, qual é a alternativa correta?
A
O produto B obteve a maior nota no item propaganda.
B
O produto de maior utilidade é o menos durável.
C
O produto C obteve a maior pontuação em quatro itens.
D
O produto de melhor qualidade é o de melhor assistência técnica.
E
O produto com a melhor avaliação em propaganda é o de pior aparência.
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Gabarito: E
Vamos analisar cada opção:
A) Falsa, pois no item propaganda o produto A foi o melhor avaliado (recebeu nota 5 contra uma nota 3 do produto B).
B) Falsa, pois o produto de maior utilidade foi o produto B (nota 5), mas o produto menos durável foi o produto C (nota 2).
C) Falsa, pois o produto C obteve a maior pontuação apenas em 2 itens (qualidade e atendimento).
D) Falsa, pois o produto C teve a melhor avaliação em qualidade (nota 5), mas foi o produto A que obteve a melhor avaliação em assistência técnica (nota 4).
E) Verdadeira; de fato, o produto A obteve a maior nota em propaganda (nota 5), mas obteve a nota mais baixa em aparência (nota 1).
Questão 5 · OBMEP 2017 · Nível 1 · Questão 5fácil
O gráfico de barras mostra a distribuição dos alunos de uma escola conforme o tempo diário dedicado à leitura.
Qual é o gráfico de setores que melhor representa, em amarelo, a fração de alunos que dedicam à leitura no máximo 40 minutos por dia?
A
B
C
D
E
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Gabarito: E
No gráfico de barras, temos as seguintes informações:
Quantidade de alunos que dedicam à leitura menos do que 20 minutos: 90.
Quantidade de alunos que dedicam à leitura de 20 minutos a 40 minutos: 60.
Quantidade de alunos que dedicam à leitura mais do que 40 minutos: 30.
TOTAL DE ALUNOS: 90 + 60 + 30 = 180.
Alunos que dedicam à leitura no máximo 40 minutos: 90 + 60 = 150.
Fração dos alunos que dedicam à leitura no máximo 40 minutos em relação ao total de alunos:
Luciano queria calcular a média aritmética dos números naturais de 1 a 15. Ao calcular a soma desses números, ele esqueceu de somar dois números consecutivos. Após dividir a soma dos treze números por 15, obteve 7 como resultado. Qual é o produto dos números que Luciano esqueceu de somar?
A
30
B
56
C
110
D
182
E
210
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Gabarito: B
Como a média aritmética de n números é igual à soma desses números dividida por n, Luciano dividiu a soma que achou na calculadora por 15 e obteve 7. Disto concluímos que a soma que ela achou foi 15 × 7 = 105. Porém, a soma de todos os números naturais de 1 a 15 é igual a 15 × 16 ÷ 2 = 120. Logo, os números que ele pulou somam 120 − 105 = 15. Se o menor deles é x, o outro é x + 1, temos x + (x+1) = 15, logo x = 7. Assim x + 1 = 8 e o produto dos dois números que Luciano esqueceu de somar é 7 × 8 = 56.
