Questões de Geometria espacial e planificações da OBMEP

Como os cubos estão empilhados uns sobre os outros, a primeira figura mostra que existem ao menos 8 cubos, todos eles em contato com o chão. Analisando a segunda figura, vemos que podem ser colocados mais 5 cubos na camada intermediária e mais 2 cubos na camada superior. No total, temos ao máximo 8 + 5 + 2 = 15 cubos. A figura a seguir mostra como essa situação com máxima utilização de cubinhos pode ser obtida.

Nos três caminhos, os segmentos ao longo das arestas laterais da pirâmide têm, no total, comprimento igual ao de uma aresta lateral. Representando por x o comprimento dos segmentos paralelos à base mais próximos aos vértices e por y o comprimento dos mais distantes, temos:

a = x + y + aresta lateral da pirâmide

b = 2y + aresta lateral da pirâmide

c = 2x + aresta lateral da pirâmide

Como x < y, temos 2x < x + y < 2y e, portanto, c < a < b.

Na camada inferior, há 4 cubos que podem ter todas as suas faces azuis. Dois deles possuem uma de suas faces visíveis e dois deles estão completamente escondidos. Na camada intermediária há somente um cubo que pode ter suas faces todas azuis. O cubo do topo não pode ter todas as suas faces azuis. Logo, há 5 cubos que podem ter todas as suas faces azuis.

Podemos também descontar dos 14 cubos os 9 que mostram ao menos uma face branca (14 – 9 = 5).

Observando a planificação, vemos que a menor soma possível para três faces vizinhas de um pequeno dado é 1 + 2 + 4 = 7 e, juntando adequadamente 8 dados na posição em que essas faces com soma mínima formem as faces do cubo grande, concluímos que a menor soma possível dos 24 números que aparecem nas faces do cubo grande é 8 × 7 = 56.

Mais detalhadamente, ao juntar os oito dados idênticos, formamos um cubo maior, como na figura ao lado, e em cada face desse cubo maior aparecem quatro números. Portanto, nas seis faces desse cubo maior aparecem 6 × 4 = 24 números. Por outro lado, cada vértice do cubo maior corresponde a um dos oito vértices do dado e cada vértice do dado tem três de suas faces concorrendo nesse vértice. Assim, os 24 números que aparecem nas seis faces do cubo maior são provenientes de faces comuns dos dados, faces essas que ficaram visíveis após a montagem, incluindo a que fica apoiada sobre a mesa. Logo, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado é igual a oito vezes a menor soma possível para as três faces comuns de um vértice de um dado.

Ao montar o dado a partir de sua planificação observamos que as faces opostas serão

2 e 5, 1 e 3, 6 e 4

Observamos também que as faces comuns aos vértices do dado serão:

• 1, 2 e 4 (soma 7)

ou 1, 2 e 6 (soma 9)

• 2, 3 e 4 (soma 9)

ou 2, 3 e 6 (soma 11)

• 3, 4 e 5 (soma 12)

ou 3, 5 e 6 (soma 14)

• 1, 4 e 5 (soma 10)

ou 1, 5 e 6 (soma 12)

Assim, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado será

8 × 7 = 56.

A ilustração nos permite concluir que os números escritos nas quatro faces que compartilham um lado com a face de número 10 são: 11, 12, 13 e 14. Observando as rotações do número 10, podemos concluir que 11 é oposto a 14 e 12 oposto ao 13. Mais precisamente, 13 é o número que está mais próximo do algarismo 1 do número 10, e 12 o que está mais próximo do algarismo 0. Assim, a soma dos números das faces em contato é 14 + 13 + 12 + 14 + 11 + 12 = 76.

Se numerarmos com I, II, III e IV as faces da figura na ordem em que elas serão coladas na montagem, como na figura, podemos verificar se, em cada imagem, as faces visíveis estão representadas adequadamente.

Na Imagem 1, temos coladas corretamente as faces I e IV; na Imagem 2, aparecem coladas as faces II e IV, o que é incorreto, pois elas são opostas; a Imagem 3 nos apresenta corretamente coladas as faces I e II, o que está correto; na Imagem 4, temos coladas as faces I e IV, mas a posição das faces está incorreta (é importante aqui observar a inclinação dos segmentos de reta da face IV); finalmente, na Imagem 5, temos corretamente coladas as faces III e IV. Portanto, somente as imagens 1, 3 e 5 podem representar a torre em miniatura montada por Pedro.