OBMEP · Álgebra
21 questões oficiais da OBMEP sobre Funções e gráficos, de 2005 a 2025, com gabarito e solução oficial. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 14 médias, 5 difíceis.
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Uma função f é tal que f(x/y) = y f(x) para quaisquer números reais x e y diferentes de zero. Se f(6) = 4, qual é o valor de f(3)?
2
3
6
8
24
Como 3 = 6/2 segue que f(3) = f(6/2) = 2 f(6) = 2 × 4 = 8.
A expressão geral de f é: f(x) = f(6/(6/x)) = (6/x) f(6) = 24/x.
Uma função f é tal que f((2_x_ + 1)/(x − 1)) = 1/x para todo número real x diferente de 0 e 1. Qual é o valor de f(3)?
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
Para obter f(3), façamos (2_x_ + 1)/(x − 1) = 3. Obtemos, assim, 2_x_ + 1 = 3(x − 1), ou seja, x = 4. Portanto,
f(3) = 1/4
A figura mostra o gráfico da função definida por y = x2. O ponto A tem coordenadas (0, p). Qual é o valor de p?
5
5,5
6
6,25
6,5
Na figura ao lado, marcamos as ordenadas dos pontos B e C. Observamos agora que BD = 3 − (−2) = 5 e CD = 9 − 4 = 5; segue que o triângulo BDC é isósceles. Como esse triângulo tem ângulo reto em D, segue também que seus outros dois ângulos, em particular o ângulo em B, medem 45°. O triângulo BEA tem ângulo reto em E e seu ângulo em B mede 45°; logo, ele também é isósceles e, então, AE = BE = 2. Segue que a ordenada de A é 2 + 4 = 6.
Podemos fazer a mesma pergunta para o caso geral, ilustrado à esquerda; aqui tomamos a, b > 0. Suponhamos que a < b. O argumento procede observando a semelhança dos triângulos BEA e BDC, que nos dá AE/BE = CD/BD, ou seja
AE/a = (b2 − a2)/(b − (−a)) = ((b − a)(b + a))/(b + a) = b − a
Temos então AE = ab − a2 e segue que a ordenada de A é a2 + ab − a2 = ab. O caso a = b é trivial e o caso a > b é análogo ao que acabamos de fazer. O resultado não muda: a ordenada do ponto A é sempre ab.
Outra solução para o caso geral, usando geometria analítica, é observar que a equação da reta BC é dada por
y − a2 = ((b2 − a2)/(b − (−a)))(x − (−a)) = (b − a)(x + a); para x = 0 temos y = ab.
Se f(x) = 5_x_2 + ax + b, com a ≠ b, f(a) = b e f(b) = a, qual é o valor de a + b?
−5
−1/5
0
1/5
5
Se f(a) = b então 5_a_2 + a.a + b = 6_a_2 + b = b, logo a = 0.
Como f(b) = 5_b_2 + a.b + b = a, então 5_b_2 + b = 0, ou seja, b.(5_b_ + 1) = 0. Portanto, b = 0 ou b = -1/5 e, como a e b devem ser diferentes, b = -1/5.
Os quadrados da figura têm lados paralelos e o mesmo centro. O quadrado maior tem lado 10 e o menor tem lado x. Qual é o gráfico que expressa a área da região cinza em função de x?
A região cinza pode ser dividida em três regiões, indicadas nas figuras abaixo:
Assim, a área A(x) da região cinza é dada por
Logo, A(x) é representada graficamente, para 0 ≤ x ≤ 10, por uma parábola com concavidade voltada para baixo com raízes x1 = - 5 e x2 = 10 e abscissa do vértice
xv = (−5 + 10)/2 = 5/2 = 2,5
Logo, o gráfico que expressa a área A(x) da região cinza em função de x é o da alternativa B.
Um quadrado ABCD tem área 1. Um ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB, partindo do ponto A para a direita, conforme mostra a figura. Se S é a área da região compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, destacada em cinza, qual é o gráfico que melhor representa a variação de S em função de x?
O lado do quadrado cuja área é 1 tem comprimento 1. Para calcular a área da região S compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, no primeiro caso, em que o ponto P está no segmento AB, temos que a distância x varia entre 0 e 1 e a expressão para a área é S(x) = 1 − x2, cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para baixo.
No segundo caso, quando o ponto B está no segmento BP, temos que a distância x é maior do que 1 e S(x) = x2 − 1, cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para cima.
O gráfico que melhor representa a variação de S em função de x, ou seja, o gráfico da função 
é o da alternativa A.