Questões de Frações, decimais e porcentagem da OBMEP

Pelo enunciado,

(2026 – k)/(2025 – k) = 2025/2026

2026(2026 – k) = 2025(2025 – k)

k = 2026² – 2025² = (2026 – 2025)(2026 + 2025)

k = 4051

A soma dos algarismos de k é 4 + 0 + 5 + 1 = 10

Como 1/3 = 3/9, o ponto correspondente a 2/9 é o ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos correspondentes a 1/9 e 1/3, ou seja, é o ponto identificado por ♣.

Para determinar a ordem dos cinco números escritos nas alternativas da questão, é preciso representar todos eles em uma mesma forma, ou na forma de fração, ou na forma decimal com vírgula.

Em representação decimal com vírgula, temos

(A) 1/6 = 0,166666… (B) 6/10 = 0,6 (C) 16/100 = 0,16 (D) 0,06 (E) 0,166

e a ordem crescente deles é 0,06 < 0,16 < 0,166 < 0,166666… < 0,6.

Em representação na forma de fração, temos

(A) 1/6 = (1 × 1000)/(6 × 1000) = 1000/6000

(B) 6/10 = (6 × 600)/(10 × 600) = 3600/6000

(C) 16/100 = (16 × 60)/(100 × 60) = 960/6000

(D) 0,06 = 6/100 = (6 × 60)/(100 × 60) = 360/6000

(E) 0,166 = 166/1000 = (166 × 6)/(1000 × 6) = 996/6000

e a ordem crescente deles é 360/6000 < 960/6000 < 996/6000 < 1000/6000 < 3600/6000.

O terceiro deles é 0,166 = 996/6000.

Escreva a igualdade com decimais:

80% de x = 20% de y

0,8x = 0,2y

Multiplicando os dois lados por 5:

4x = y

Resposta: E.

Por que as outras atraem: a A (x = 4y) inverte a relação. Como 80% é mais que 20%, para os dois resultados serem iguais o número x tem de ser o menor, então y é quatro vezes x.

Dica: depois de achar a relação, teste com números: x = 1 e y = 4 dão 0,8 = 0,8.

Há varias formas de se determinar quantas pizzas foram utilizadas para formar a figura. Por exemplo, contando os pedaços temos 24 + 16 = 40 pedaços e, como cada pizza é dividida em oito pedaços, temos 40 ÷ 8 = 5 pizzas. Outra forma de se determinar isso é observar, na figura, que temos 4 metades de pizzas e mais 4 três quartos de pizzas; como 4 metades é igual a duas pizzas (4 × 1/2 = 4/2 = 2) e 4 três quartos é igual a três pizzas (4 × 3/4 = 12/4 = 3), o total de pizzas utilizado foi de 2 + 3 = 5 pizzas.

Uma terceira forma de se determinar quantas pizzas foram utilizadas é olhar para a figura e imaginar três linhas horizontais de pizzas; basta observar que na primeira linha podemos formar 2 pizzas inteiras, na segunda linha, 1 pizza e, na terceira linha, 2 pizzas, totalizando 2 + 1 + 2 = 5 pizzas inteiras.

Logo, a = 1, b = 2 e c = 3 satisfazem a expressão do enunciado.

Não há outra solução além de c = 3. Veja uma outra maneira de resolver a questão:

De acordo com o enunciado, a, b, c ≥ 1. Como 1 < 10/7 < 2, segue que a = 1. De fato, se a ≥ 2, deveríamos ter 1/(b + 1/c) < 0, o que não ocorre. Consequentemente, 10/7 = 1 + 1/(b + 1/c). Basta encontrar b e c tais que 3/7 = 1/(b + 1/c) = c/(bc + 1).

A partir dessa igualdade de frações, concluímos que 7_c_ = 3(bc + 1). Como 3 e 7 são números primos, segue que 3 divide c, bem como 7 divide (bc + 1). Portanto, existem dois números naturais positivos m e n satisfazendo c = 3_m_ e (bc + 1) = 7_n_.

Assim, 7_nc_ = (bc + 1)(3_m_) = 3(bc + 1)m = 7_cm_, o que garante que m = n. Logo, bc + 1 = b(3_m_) + 1 = 7_n_ = 7_m_ e, então, 1 = 7_m_ − 3_bm_ = m(7 − 3_b_). Consequentemente, m = 1, pois m divide 1 e é positivo. Segue que c = 3_m_ = 3 e também que b = 2, pois 3_b_ + 1 = 7.

Observação: Uma fração contínua finita simples é uma expressão da forma

em que a₀ é um número inteiro e a₁, ..., a_n são inteiros positivos.

Todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração contínua simples, e toda fração contínua simples é um número racional. A representação como fração contínua não é única. Se a_n > 1, há apenas duas representações possíveis, porém de “comprimentos” diferentes; por exemplo: