Questões de Equações e problemas da OBMEP

As palavras JABUTI e CABRA juntas têm um R a mais do que a palavra JABUTICABA, então R = 40 + 19 – 55 = 4.

Mais detalhadamente, como João atribuiu um valor numérico a cada letra do alfabeto, cada letra do alfabeto passou a representar um número. De acordo com os valores que João atribuiu às letras, temos:

J + A + B + U + T + I = 40

C + A + B + R + A = 19

J + A + B + U + T + I + C + A + B + A = 55

Somando os valores atribuídos às letras de JABUTI e CABRA temos

(J + A + B + U + T + I) + (C + A + B + R + A) = 40 + 19 = 59

De acordo com as propriedades associativa e comutativa da soma, temos

(J + A + B + U + T + I) + (C + A + B + R + A) = (J + A + B + U + T + I + C + A + B + A) + R

Assim

(J + A + B + U + T + I + C + A + B + A) + R = 59

Como a soma dos valores atribuídos as letras de JABUTICABA é igual a 55, temos

55 + R = 59.

Logo, R = 4.

Paulo comprou 28 comprimidos, em caixas com quantidades de 8 ou de 12 comprimidos cada. A única forma de Paulo fazer essa compra é com uma caixa de 12 comprimidos e duas caixas com 8 comprimidos. Logo, ele gastou 1 × 40 = 40 reais na caixa com 12 comprimidos mais 2 × 25 = 50 reais nas duas caixas com 8 comprimidos, totalizando 40 + 50 = 90 reais gastos nessa compra.

Como x² − 3_x_ + 1 = 0, temos que x² = 3_x_ − 1. Logo,

Pode-se também resolver a equação de 2º grau e, com as raízes, fazer o cálculo direto de x² + 1/x².

Seja n o número pensado por Henrique. As operações descritas no enunciado são, em ordem, as seguintes:

3 n

3 n + 3

(3 n + 3)/3

[(3 n + 3)/3] − 3 e

∛{[(3 n + 3)/3] − 3}

Como

∛{[(3 n + 3)/3] − 3} = 3, realizando as operações inversas, obtemos

[(3 n + 3)/3] − 3 = 27

Assim,

(3 n + 3)/3 = 30

Ou seja, n + 1 = 30, logo, n = 29. Somando os algarismos de 29, temos 2 + 9 = 11.

Representando graficamente as três situações uma no topo da outra, como na figura ao lado, observamos que a soma das três medidas corresponde a 3 vezes a distância h (o bloco verde debaixo compensa com o bloco verde do topo).

Logo, h = (113 + 80 + 82)/3 = 91 cm.

OUTRA SOLUÇÃO:

Cada uma das distâncias nas três figuras pode ser expressa em termos de h e das alturas de dois dos blocos:

111 = h − bloco verde + bloco azul

80 = h − bloco azul + bloco rosa

82 = h − bloco rosa + bloco verde

Cada bloco aparece uma vez nessas igualdades com sinal positivo e outra com sinal negativo.

Portanto, ao somá-las, eles se cancelam. Temos, assim:

111 + 80 + 82 = 3_h_

Logo, 3_h_ = 273 e, portanto, h = 91 cm.

Sem usar a nota de 5 reais, Miguel não somaria o valor pago, pois as demais notas têm valores pares e, portanto, ele não conseguiria uma soma ímpar. Assim, ele precisa escolher mais 5 notas cuja soma seja 63 − 5 = 58. Portanto, ele precisa escolher algumas notas, dentre as de 2 e 5 reais, cuja soma seja 8 (para isso, ele não usa as outras notas, pois elas têm valor maior do que 8). Nesse caso, a única escolha para somar 8 é escolher quatro notas de 2 reais. Sendo assim, Miguel já separou cinco notas, uma de 5 reais e quatro de 2, somando 5 + 4 × 2 = 5 + 8 = 13 reais. Como ele fez a compra com seis notas, para somar 63 reais, ele usou uma nota de 50, uma de 5 e quatro notas de 2 reais.