Questões de Desigualdades, máximos e mínimos da OBMEP

Pela representação gráfica, sabemos que 0 < x < y < 1. Com isso, faremos a comparação entre os valores expressos nos itens:

• x < x + y, pois y é positivo.
• xy < x, pois x é positivo e y é positivo e menor do que 1.
• xy < x/y, pois x é positivo e y é positivo e menor do que 1.
• x² < xy, pois x é positivo e x < y.

Logo, o menor valor é x².

Sabemos inicialmente que em cinco dos meses do ano o total de aniversariantes da turma da professora Cláudia é 18, pois em dois desses meses o número de aniversariantes é 6 e em três outros meses esse número é 2; calculando, 2 x 6 + 3 x 2 = 18.

Nos restantes sete meses, a cada mês o número de aniversariantes do mês fica entre 3 e 5; logo, o total N de aniversariantes nesse período ficará entre 21 e 35, ou seja, 21 ≤ N ≤ 35.

Juntando o resultado das duas afirmações, ou seja, somando 18 a cada um dos termos da desigualdade,

21 + 18 ≤ N + 18 ≤ 35 + 18

teremos que o número de aniversariantes da turma da professora Cláudia ficará entre 39 e 53 e, dentre as alternativas, a única possível é N = 45.

Os cinco menores números inteiros, positivos e distintos que Morgana pode escolher são 1, 2, 3, 4 e 5. Esses cinco números somam 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15). Assim, o maior número que Morgana pode escolher é o 2020 − 15 = 2005.

A afirmação I é falsa, pois, por exemplo, os cartões com os números 1, 1, 22 e 22 satisfazem o enunciado e nem todos são iguais ou maiores do que 8.

A afirmação II é verdadeira. Para ver isso, sejam a, b, c e d os números nos cartões. Sabemos que

a + b + c ≥ 24

a + b + d ≥ 24

a + c + d ≥ 24

b + c + d ≥ 24

Da primeira igualdade, podemos inferir que ou a ≥ 8 ou b ≥ 8 ou c ≥ 8. Sem perda de generalidade, suponhamos a ≥ 8. Analisemos agora a última das quatro equações acima; pelo mesmo motivo, um dos três números, b, c ou d, deve ser igual ou maior do que 8, digamos que b ≥ 8, novamente sem perda de generalidade. Logo, a + b ≥ 16.

A afirmação III é verdadeira. Escolhendo a e b como acima, concluímos que a x b ≥ 64.

Ao lançar dois dados de cada vez, após cinco lançamentos, obteremos 10 números. Suponha que N desses números sejam 6 e o restante igual ou menor do que 5. Como o total obtido é 57, temos:

57 ≤ N x 6 + (10 − N) x 5 = N + 50,

ou seja, N ≥ 7. Isso pode ser confirmado notando que, se apenas 6 dados resultassem em 6, o maior número que José poderia ter obtido, no final, seria 6 x 6 + 4 x 5 = 56. Assim, podemos garantir que foram obtidos pelo menos 7 dados com o valor 6.

Suponha agora que em x lançamentos saiu um par de 6, em y lançamentos apenas um 6 e em z lançamentos nenhum 6. Note que x, y e z são inteiros entre 0 e 5, e x + y + z = 5, já que 5 é o total de lançamentos.

O número 6 saiu 2_x_ + 1_y_ + 0_z_ = 2_x_ + y vezes. Devemos ter, portanto, 2_x_ + y ≥ 7, ou seja, 7 − 2_x_ ≤ y.

Por outro lado, como y = 5 − x − z ≤ 5 − x, juntando as duas últimas desigualdades, temos 7 − 2_x_ ≤ 5 − x, o que implica x ≥ 2. Devemos ter pelo menos 2 lançamentos com um par de 6.

Para estabelecer 2 como o menor número de lances em que sai um par de 6, devemos exibir uma configuração de pares que some 57, com apenas dois pares de 6. Isso pode ser obtido da seguinte forma:

(6 e 6), (6 e 6), (6 e 5), (6 e 5), (6 e 5).

Como o peso (massa) da sacola 1 é menor que o peso da sacola 2, temos:

2_a_ + b < 2_c_ + b ⇒ 2_a_ < 2_c_ ⇒ a < c.

Como o peso da sacola 2 é menor que o peso da sacola 3, temos:

2_c_ + b < 2_b_ + a ⇒ 2_c_ < b + a.

Entretanto, b + a < b + c, pois já concluímos que a < c, logo:

2_c_ < b + c ⇒ c < b.

Podemos concluir, então, que a < c < b.