Questões de Áreas e perímetros da OBMEP

Na figura aparecem as diagonais do octógono que passam pelo ponto O; elas dividem o octógono em oito triângulos congruentes. Como a área do octógono é 16 cm², a área de cada um desses triângulos é 16/8 = 2 cm². Como M é o ponto médio de CD, os triângulos OMC e OMD são congruentes e segue que a área do triângulo OMC é metade da área do triângulo OCD. Finalmente, o polígono amarelo é formado por dois triângulos de área 2 cm² e pelo triângulo OMC; sua área é, então, 2 · 2 + 1 = 5 cm².

Os lados dos quadrados ABCD e BEFC têm medida L = √60. Sejam P, M e Q como na figura; M é o ponto médio de BC. Seja h a altura do triângulo DPC = altura do triângulo EQB, como indicado.

Os triângulos DPC e DQF são semelhantes; assim, h/L = (L – h)/(2_L_).

Resolvendo a equação, encontramos h = L/3. Portanto, a área do triângulo DPC é L²/6 = 60/6 = 10 cm².

Logo,

área de APD = área de FQE = (L²/2) – 10 = (60/2) – 10 = 20 cm² e

a área de CPM = área de BQM = (60/4) – 10 = 5 cm².

Concluímos que a área da região sombreada é 2 x 20 + 2 x 5 = 50 cm².

Podemos, a partir do centro do retângulo, dividir verticalmente as duas faixas superiores em dois retângulos iguais. A área em amarelo na parte superior é igual à área de cada um dos retângulos resultantes dessa divisão feita nas duas faixas superiores e, portanto, igual a 1/4 da área do retângulo maior.

Por outro lado, a área da faixa inferior em amarelo também é igual a 1/4 da área do retângulo maior. Consequentemente, a área da região em amarelo é igual a 1/4 + 1/4 = 1/2 da área do retângulo maior.

Poderíamos, também, transferir dois pequenos triângulos, como na figura abaixo, para confirmar que a área total amarela é metade da área do retângulo maior:

O quadrado maior tem lado medindo 6 cm e o quadrado menor tem lado medindo 2 cm, já que a área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. Portanto, de acordo com a distribuição geométrica dos quadrados na figura, o terceiro quadrado tem lado medindo 6 − 2 = 4 cm; logo, sua área é 16 cm².

A parte vermelha é formada por um quadradinho mais 4 metades de quadradinhos. Essas 4 metades juntas têm a mesma área que a de 2 quadradinhos. Assim, a área total da parte vermelha é igual à área de 1 + 2 = 3 quadradinhos. Como essa área é de 6 cm², cada quadradinho tem uma área de 2 cm².

O quadrado inteiro é formado por 9 quadradinhos. Assim, a área em azul equivale à área de 9 − 3 = 6 quadradinhos, que é igual a 6 x 2 = 12 cm².

Como os vértices da figura destacada (um octógono) dividem os lados do quadrado em três partes iguais, podemos ligá-los de forma a obter um quadriculado que divide o quadrado em nove quadradinhos iguais. A figura cuja área conhecemos é formada por cinco desses quadradinhos e quatro triângulos, os quais são, cada um deles, metade de um quadradinho.

Reunindo esses quatro triângulos dois a dois, como na figura, teremos mais dois quadradinhos; portanto, o octógono, cuja área é 28 cm², é equivalente a 5 + 2 = 7 quadradinhos. A área de cada um dos quadradinhos é, portanto, igual a 28 ÷ 7 = 4 cm².

Como o quadrado equivale a nove quadradinhos, sua área é 9 x 4 = 36 cm².