Questões de Ângulos, polígonos e triângulos da OBMEP

Observemos primeiro os ângulos com vértice D. Como o triângulo DFC é equilátero, temos ∠CDF = 60° e, como ∠CDA = 90°, segue que ∠FDA = 30°. Analogamente temos ∠CDG = 30° e então ∠GDF = 30°. Passemos ao triângulo GDF. Ele é isósceles, pois DG = DF, e segue que ∠DFG = ∠DGF = 75°. Logo ∠CFG = ∠DFG − ∠DFC = 75° − 60° = 15°.

Agora consideremos o triângulo CFE. Como acima, temos ∠BCF = 30° e segue que ∠ECF = 90°. Por outro lado, como CF = CE, esse triângulo também é isósceles, e temos, então, ∠CFE = 45°.

Finalmente, temos ∠GFE = ∠CFE − ∠CFG = 45° − 15° = 30°.

Temos 90° = ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC = 20° + ∠EBC e, então, ∠EBC = 70°; como o triângulo CBE é isósceles de base BE, temos também ∠BEC = 70°. Por outro lado, temos ∠DBC = 45°, pois BD é diagonal do quadrado; de 70° = ∠EBF + ∠FBC = ∠EBF + 45° segue então que ∠EBF = 25°. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180° e no triângulo EBF já temos os ângulos ∠BEC = 70° e ∠EBF = 25°, segue que ∠BFE = 180° − (25° + 70°) = 85°. Finalmente, os ângulos ∠BFE e ∠CFD são opostos pelo vértice, logo, iguais. Assim, ∠DFC = 85°.

Sejam M e N os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Vamos acrescentar aos dados do problema a diagonal AC e seu ponto médio P, como na figura:

PN é base média do triângulo CAB; logo, PN = (AB/2) = 1 cm e a reta PN é paralela à reta AB.

PM é base média do triângulo ACD; logo, PM = (CD/2) = 6 cm e a reta PM é paralela à reta CD.

Como AB não é paralelo a CD, temos que M, P e N não estão alinhados, de modo que existe o triângulo MNP.

Da condição de existência de um triângulo, temos que 6 − 1 < MN < 6 + 1, ou seja, 5 < MN < 7.

Portanto, dentre as opções, a única que poderia representar a medida de MN é 6,5 cm.

Observe que AB, AC e BC são diagonais das faces do cubo e, portanto, possuem a mesma medida. Logo, os segmentos AB e AC são lados do triângulo equilátero ABC. O ângulo BÂC é, então, um ângulo interno de um triângulo equilátero, que mede 60°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Observe que os três ângulos não marcados dos triângulos (com vértices em B) somam 180°, já que A, B e C estão alinhados. Assim, a soma dos ângulos marcados é (180° × 3) − 180° = 360°.

A figura ao lado mostra uma parte do hexágono formada por três trapézios. Prolongamos os segmentos AF e DE para obter os pontos P e Q, como indicado. Como os trapézios são idênticos, os ângulos assinalados são iguais; segue que AP e QD são paralelos. Como PD e EF, sendo bases de um trapézio, também são paralelos, segue que PDEF é um paralelogramo; em particular, temos PF = DE. Da igualdade dos trapézios temos AF = DE = EF e concluímos que AP = 2_EF_. Notamos agora que APCB também é um paralelogramo; logo BC = AP = 2_EF_ e como BC = 10 segue que EF = 5.

Outra solução é a seguinte. Como os trapézios são idênticos, o hexágono que eles formam é regular. Como o ângulo interno α desse hexágono mede 120°, o ângulo β mede 120°/2 = 60°. Logo o triângulo ABC é equilátero; como AC = CD temos BC = CD e segue que o paralelogramo BCDE é um losango. Assim, B é o ponto médio de AE e então AC = BE = (1/2)AE = (1/2) × 10 = 5 cm.