OBMEP 2023 · Nível 2 (8º e 9º anos): prova com gabarito

O alfinete 4 não pode ser retirado e os dois alfinetes 7 e 9 não podem ser ambos retirados. Pensemos nos papéis A, C, D e F. Não podemos mantê-los fixos com apenas um alfinete, pois nenhum dos alfinetes segura 4 papéis, mas podemos mantê-los sem cair com 2 alfinetes, por exemplo, com os alfinetes 3 e 8. Assim, com 4 alfinetes podemos manter todos os papéis sem que nenhum caia; logo, podemos retirar 6 dos 10 alfinetes.

Outra solução:

Veja que manter os alfinetes 3, 4, 8 e 9 são suficientes para manter todos os papeis fixados. Agora, note que em cada um dos conjuntos de alfinetes a seguir, devemos manter pelo menos um dos alfinetes para que nenhum papel caia.

A = {1,2,3}

B = {4}

D = {5,6,8}

E = {7,9}

Portanto, podemos retirar no máximo 6 alfinetes.

Vamos fazer o problema de trás para frente, identificando qual foi o quinto e último cartão colado, depois o quarto cartão colado e, então, descobrir qual foi o terceiro cartão colado.

O cartão E está sobre todos os outros cartões; portanto, ele foi o quinto e último cartão colado. Depois, vemos que o cartão A está colado em cima do cartão B. Perceba que o cartão B está colado sobre os cartões C e D; logo, C e D foram os cartões iniciais na colagem. Note que o cartão D foi colado de cabeça para baixo.

Basta contar o número de fatias e observar se o resultado é um múltiplo de 9.

Se todas as cinco pizzas tivessem sido cortadas em 6 fatias, teríamos um total de 6 x 5 = 30 fatias, o que não permitiria a divisão exata entre os 9 amigos.

Se quatro pizzas tivessem sido cortadas em 6 e uma em 8, teríamos 6 x 4 + 8 x 1 = 32 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se três pizzas tivessem sido cortadas em 6 e duas em 8, teríamos 6 x 3 + 2 x 8 = 34 pedaços, divisão novamente incorreta.

Se duas pizzas tivessem sido cortadas em 6 e três em 8, teríamos 6 x 2 + 3 x 8 = 36 pedaços. Nesse caso, cada amigo teria comido 4 pedaços, pois 9 x 4 = 36.

Se uma pizza tivesse sido cortada em 6 e quatro em 8, teríamos 6 x 1 + 4 x 8 = 38 pedaços, divisão novamente incorreta.

Finalmente, a possibilidade de termos as cinco pizzas com 8 fatias resultariam em 40 pedaços, impossível de dividir exatamente por 9.

Logo, os 9 amigos comeram 4 fatias cada. Note que eles não comeram a mesma quantidade de pizza, mas sim a mesma quantidade de fatias.

Outra solução:

Sejam x o número de pizzas cortadas em 6 fatias e y o número de pizzas cortadas em 8 fatias. O enunciado diz que x + y = 5, o que nos dá as possbilidades (x,y) = (5,0),(4,1),(3,2),(2,3),(1,4),(0,5). Além disso, o número total de fatias em que as pizzas foram cortadas é 6_x_ + 8_y_; como essas foram igualmente divididas entre os 9 amigos, segue que 6_x_ + 8_y_ deve ser um múltiplo de 9. Substituindo os possíveis valores de (x,y) nessa expressão, vemos que o único múltiplo de 9 que aparece é 2 × 6 + 3 × 8 = 36, ou seja, duas pizzas cortadas em 6 fatias e três pizzas em 8 fatias. Segue que cada um dos amigos comeu (36/9) = 4 fatias.

Uma maneira de tornar essa solução mais rápida é escrever o número de fatias como 9_z_ e reescrever 6_x_ + 8_y_ = 9_z_ como

8_y_ = 9_z_ - 6_x_ = 3(3_x_ - 2_z_).

Isso mostra que 8_y_ deve ser um múltiplo de 3, que só acontece para y = 3 e chegamos à solução (2,3), como acima.

Cada tabuleiro de 7 cm por 17 cm usa 7 × 17 = 119 peças.

Número de tabuleiros: 2023 ÷ 119.

Para fazer a conta, fatore 2023: 2023 = 7 × 289 = 7 × 17 × 17.

Então 2023 ÷ (7 × 17) = 17 tabuleiros (e não sobra nenhuma peça).

Resposta: E (17).

Dica: 2023 = 7 × 17² aparece em várias questões daquele ano; vale a pena testar divisões por 7 e 17.

Observe que as 21 páginas foram lidas nos três primeiros dias: sexta, domingo e terça. Ou seja, ela lê (21/3) = 7 páginas por dia. Como (105/7) = 15, significa dizer que ela terá 15 dias de leitura. Fazendo a sequência de dias nos quais ela lê, temos:

SEX, DOM, TER, QUI, SAB, SEG, QUA, SEX, DOM, TER, QUI, SAB, SEG, QUA, SEX.

Portanto, ela terminará de ler o livro em uma sexta-feira.

Na camada inferior, há 4 cubos que podem ter todas as suas faces azuis. Dois deles possuem uma de suas faces visíveis e dois deles estão completamente escondidos. Na camada intermediária há somente um cubo que pode ter suas faces todas azuis. O cubo do topo não pode ter todas as suas faces azuis. Logo, há 5 cubos que podem ter todas as suas faces azuis.

Podemos também descontar dos 14 cubos os 9 que mostram ao menos uma face branca (14 – 9 = 5).

A figura apresenta o quadrado ABCD dividido em duas metades pela diagonal AC. Traçando as diagonais do quadrado XYZW e as alturas dos triângulos AXW e YZC, relativas às bases AX e YC, respectivamente, percebe-se que metade do quadrado ABCD é formada por 9 triângulos congruentes a XBY. Consequentemente, todo o quadrado ABCD é formado por 18 desses mesmos triângulos. Uma vez que o quadrado XYZW é formado por 4 desses triângulos, a razão entre as áreas dos quadrados é 4/18 = 2/9.

Maria e Paulo sentam-se em cadeiras diametralmente opostas na roda gigante, por isso, a altura que um deles se encontra com relação ao solo é igual à que falta para o outro atingir a altura total da roda gigante com relação ao solo, ou seja, 3 + 5 = 8 m – pense na situação em que um está no ponto mais baixo da roda e outro no ponto mais alto. Portanto, quando Maria estiver a 7 m do solo, Paulo estará a 8 – 7 = 1 m do solo.

Outra solução: Observe a figura; m denota a altura de Maria e p a altura de Paulo com relação ao solo, estamos supondo p ≤ m, mas raciocínio análogo vale se p > m. Os triângulos em cinza são congruentes, o que garante que x = y. Portanto,

m – x = p + x = r + h, de onde se concluiu que m + p = m – x + p + x = 2 (r + h) é constante.

O enunciado nos diz que quando m = 3, p = 5 e nos pede p quando m = 7. Pelo que vimos, 7 + p = 3 + 5 = 8; logo, p = 1, isto é, Paulo estará a 1 m do solo quando Maria estiver a 7 metros.

A área do polígono amarelo é igual a soma das áreas dos triângulos ABC e CDE. Seja l o lado de cada quadradinho do quadriculado, então a área do triângulo ABC é (AC·BC)/2 = (2_l_·3_l_)/2 = 3_l_² e a área do triângulo CDE é (CD·BE)/2 = (2_l_·2_l_)/2 = 2_l_²; nesse último triângulo tomamos a base como CD e a altura como BE.

A área do polígono amarelo é, portanto, 3_l_² + 2_l_² = 5_l_² = 30 cm². Logo, l² = 6 cm², ou seja, um quadradinho do quadriculado tem área de 6 cm².

Pelos dados fornecidos, a²b²c² = 1/36

a²b² = 1/4 ⇒ c² = 1/9 ⇒ 1/c² = 9

b²c² = 1/9 ⇒ a² = 1/4 ⇒ 1/a² = 4

a²c² = 1/36 ⇒ b² = 1 ⇒ 1/b² = 1

Logo, 1/a² + 1/b² + 1/c² = 9 + 4 + 1 = 14

Outra solução:

Como ab = 1/2, bc = 1/3 e ac = 1/6, a igualdade acima torna-se

Multiplicando membro a membro as igualdades ab = 1/2, bc = 1/3 e ac = 1/6, chegamos a

a²b²c² = 1/2 · 1/3 · 1/6 = 1/36

A notação A̲ B̲ C̲ é usada para denotar o número A̲ B̲ C̲ = A.10² + B.10 + C. É claro que A̲ B̲ C̲ = 10 x A̲ B̲ + C e, assim, (A̲ B̲ C̲ / A̲ B̲) = 10 + (C/ A̲ B̲).

Para que A̲ B̲ C̲ / A̲ B̲ seja um número inteiro, C/ A̲ B̲ deve ser inteiro, mas o denominador A̲ B̲ é maior do que o numerador C e a única possibilidade de isso acontecer ocorre quando C = 0. O resultado A̲ B̲ 0̲ / A̲ B̲ = 10 é inteiro para todo algarismo A diferente de zero e para todo algarismo B. Há, então, 9 possibilidades para A e 8 possibilidades para B, já que C = 0 já foi utilizado e os algarismos A, B e C devem ser todos diferentes. Conclusão: são 9 x 8 = 72 as possibilidades de A̲ B̲ C̲ / A̲ B̲ ser um número inteiro.

Note que 2048 = 2¹¹ é uma potência de 2. Portanto, todos os quatro números escritos no quadro são potências de 2. Assim, devemos escrever 67 como uma soma de 4 parcelas, todas elas potências de 2. Há duas maneiras de se fazer isso:

• 67 = 64 + 1 + 1 + 1 (nesse caso o produto das parcelas é 64.1.1.1 ≠ 2048) e
• 67 = 32 + 32 + 2 + 1 (é a única possibilidade de atender ao enunciado).

Portanto, a menor soma possível de três dessas potências é 2⁵ + 2¹ + 2⁰ = 32 + 3 = 35.

Como a única criança que mentiu é a que tem 8 anos, a criança que diz que não tem 8 anos está mentindo, pois qualquer uma das outras duas que disser que não tem 8 anos está dizendo a verdade. Como as outras duas estão falando a verdade, a que diz que não tem 9 anos tem 7 anos e a que diz que não tem 7 anos tem 9 anos. Assim, a mais velha é a que diz que não tem 7 anos e a mais nova é a que diz que não tem 9 anos.

Outra solução: Analisemos a criança que diz “Não é 8”. Há só duas possibilidades: ou ela mente ou fala a verdade.

1) Se ela diz a verdade, sua idade só pode ser 7 ou 9 anos.

Se for 7, alguém deve ter 8 anos. Suponha que seja a criança de cabelo preto. Nesse caso a de cabelo preto estaria dizendo a verdade, mas sua idade é 8 anos, uma contradição, pois quem tem 8 anos mente. Analogamente, se a criança de 8 anos for a de cabelo loiro, ela estaria dizendo a verdade, novamente uma contradição.

Do mesmo modo, se a idade de quem diz “Não é 8” for 9 anos, uma das outras duas crianças teria 8 anos e estaria falando a verdade, contradição.

2) Se ela mente, então tem 8 anos. Como só há uma pessoa mentirosa, as outras duas falam a verdade; a de cabelo preto tem 9 anos e a de cabelo loiro tem 7.

Vamos nomear os quatro pontos indicados no enunciado de P, Q, R e S, conforme a figura.

Observe que só há um único caminho que vai de A até B passando por P. O mesmo ocorre com o ponto Q. Assim, até agora contamos dois caminhos.

Para ir de A até R há 6 caminhos: cada um desses seis caminhos é determinado pela escolha da coluna na qual a formiga realiza um movimento para cima. De R para B há seis caminhos. Portanto, há 6 x 6 = 36 caminhos que saem de A até B passando por R.

O mesmo ocorre para o ponto S; ou seja, há 36 caminhos saindo de A até B passando por S.

Portanto, o total de caminhos é igual a 36 + 36 + 1 + 1 = 74.

Sejam a, b e c as dimensões da caixa. Como o volume é 168, abc = 168. Além disso, o enunciado nos fornece ab = 28 e ca = 24. O que queremos calcular é a área do cartão antes dos cortes, ou seja, A = (a+b+a).(a+c+a) =(b+2_a_).(c+2_a_).

abc = 168 → 28_c_ = 168, logo, c = 6. Como ca = 24, a = 4, e como abc = 168, 4.b.6 = 168, logo, b = 7.

Portanto, A = (7 + 2.4).(6 + 2.4) = 15.14 = 210 cm².

Os losangos que podem ser formados se dividem nos tipos I, II e III, como na figura ao lado. Os possíveis losangos do tipo I estão indicados com as cores vermelho, verde, azul e amarelo na primeira das figuras abaixo; contando em linhas de baixo para cima, vemos que eles são em número de 4+3+2+1=10. De modo análogo, o número de possíveis losangos do tipo II também é 10, assim como os do tipo III. No total, temos 10+10+10=30 losangos possíveis.

Outra maneira de contar é observar que os triângulos menores, com exceção dos cinco triângulos que têm um lado em comum com o lado esquerdo do triângulo maior, podem ser divididos em pares de modo a formar todos os possíveis losangos do tipo I, que são então em número de (25 − 5)/2 = 10. O mesmo argumento com relação aos lados esquerdo e inferior do triângulo maior, respectivamente, se aplica a losandos dos tipos II e III, e chegamos novamente a 30 losangos possíveis.

Ainda outra solução é ilustrada abaixo

Aqui vemos a figura que ilustra os losangos do tipo I na posição original e também rotacionada duas vezes de modo que sua base fique horizontal, ilustrando assim todos os losangos dos tipos II e III, respectivamente. O número de losangos não muda a cada rotação, e como ele é 10 na primeira figura segue, mais uma vez, que temos 30 losangos possíveis.

De acordo com o enunciado, Tia Zélia tem 10 sobrinhos cujas idades somam 110 anos. Mariana não pode ter menos do que (110/10) = 11 anos; se tivesse, todos os sobrinhos também teriam, pois ela é a mais velha, e a soma das idades de todos seria inferior a 110. Se todos pudessem ter a mesma idade, então teríamos dez sobrinhos com 11 anos.

11+11+11+11+11+11+11+11+11+11=110

Como todos os sobrinhos de Tia Zélia têm idades diferentes, devemos ir diminuindo as idades dos sobrinhos mais novos nas parcelas acima e aumentando as idades dos sobrinhos mais velhos, até que todas as idades fiquem diferentes. Porém, ao diminuir a idade de um sobrinho mais novo em um ano, temos que aumentar a idade de um sobrinho mais velho também em um ano, para manter a soma das idades igual a 110. Vamos fazer isto aumentando a idade de Mariana de 1 em 1. Podemos proceder da seguinte forma:

• diminuindo a idade de um dos sobrinhos mais novos:
• 10+11+11+11+11+11+11+11+11+12=110
• diminuindo a idade de dois dos sobrinhos mais novos:
• 9+10+11+11+11+11+11+11+12+13=110
• diminuindo a idade de três dos sobrinhos mais novos:
• 8+9+10+11+11+11+11+12+13+14=110
• diminuindo a idade de quatro dos sobrinhos mais novos:
• 7+8+9+10+11+11+12+13+14+15=110
• diminuindo a idade de cinco dos sobrinhos mais novos:
• 6+7+8+9+10+12+13+14+15+16=110

Logo, a menor idade que Mariana, a sobrinha mais velha, pode ter é 16 anos.

De acordo com o enunciado, a frase “A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela” nos revela que Alice, Beatriz e Daniela não vestem azul. Logo, Beatriz veste azul e está ao lado de Daniela, que veste preto ou vermelho. Já a frase “A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia” nos revela que Cláudia não veste preto nem vermelho, e como também não veste azul, a única cor possível para Cláudia vestir é branco. Resta saber se Alice e Daniela vestem preto ou vermelho. Como Beatriz (a menina de azul) está entre Cláudia (a menina de branco) e Daniela, e como a menina de preto está entre a menina de vermelho e a menina de branco (Cláudia), a menina de preto não está ao lado de Beatriz, e assim Daniela só pode vestir vermelho. Conclusão: Alice veste preto; Beatriz, azul; Cláudia, branco; e Daniela, vermelho.

Outra solução:

Montamos um grafo e um a tabela para nos ajudar a organizar as informações do enunciado:

A frase “A menina de azul, que não é nem Alice nem Cláudia, está entre a menina de branco e Daniela” nos permite preencher alguns dados:

Continuamos os preenchimentos com as informações da frase: “A menina de preto está entre a menina de vermelho e Cláudia”:

Finalmente, se Daniela vestisse preto, ela estaria entre a de vermelho e Cláudia, o que não ocorre, como vemos no grafo acima. Logo, Daniela veste vermelho e, como consequência, Alice veste preto. Podemos completar assim todas as informações:

Todos os 23 números de dois algarismos maiores do que ou iguais a 77 podem ser escolhidos, pois a soma de um deles com qualquer outro número de dois algarismos é maior do que 86. Para analisar os números de 10 a 76, considere os pares:

(10,76), (11, 75), (12, 74), ..., (42, 44)

Todos eles são diferentes e, em cada um, temos dois números que somam 86. Em cada um deles só podemos escolher um de seus elementos e assim dessa coleção podemos escolher no máximo 33 números. O número 43 também pode ser escolhido porque não há outro número de dois algarismos diferente de 43 que somado com ele produza 86. Portanto, o total de números que podem ser escolhidos é 23 + 33 + 1 = 57.

Na figura, ABCD é um losango (AB//CD, AD//BC e AB ≡ AD). Então, os triângulos ABD e CDB são congruentes.

Temos também que os triângulos PBC e QCD são congruentes pois CD ≡ CB (diagonais do pentágono regular BPCQD) e

BP ≡ PC ≡ CQ ≡ QD (lados do pentágono regular BPCQD).

Temos então que:

(Área da parte azul) = 3 x (área do triângulo ABD) + (área do triângulo PCB) = (Área da parte branca).

Logo, a área em azul dessa estrela representa 1/2 da área total da estrela.