Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas · 1ª fase
As 20 questões oficiais da OBMEP 2022, nível 1 (6º e 7º anos), com gabarito e solução oficial. Tente resolver antes de abrir a resposta.
No app você resolve com cronômetro, vê a correção e guarda o seu progresso. Esta edição é parte do plano OBMEP no app.
Quanto é 100 × 101?
Mil e um.
Mil e dez.
Dez mil e dez.
Dez mil e cem.
Onze mil e cem.
100 × 101 = 101 × 100 = 10100, ou seja, 100 × 101 é igual dez mil e cem.
Marcelo usa palitos para fazer quadriculados como na figura. Para fazer um quadriculado 1 × 1, ele usa 4 palitos; para fazer um quadriculado 2 × 2 ele usa 12 palitos, e assim por diante. Quantos palitos ele precisará para fazer um quadriculado 5 × 5?
50
55
60
80
100
Em um quadriculado n × n há n + 1 fileiras de palitos horizontais e n + 1 fileiras de palitos verticais, e cada uma dessas fileiras tem n palitos. Portanto, o número total de palitos em um quadriculado n × n é 2 × n × (n + 1). Logo, um quadriculado 5 × 5 tem 2 × 5 × 6 = 60 palitos. Isto também pode ser visto na ilustração ao lado.
Duas placas de sinalização foram colocadas no início de uma ponte sobre um rio. Uma placa indica a largura máxima permitida e a outra, o peso máximo permitido para os veículos que pretendem passar por ela. Qual dos caminhões a seguir pode passar por essa ponte?
O que pesa 4300 kg e tem largura de 3,3 m.
O que pesa 4305 kg e tem largura de 3,15 m.
O que pesa 4250 kg e tem largura de 3,3 m.
O que pesa 4400 kg e tem largura de 3,25 m.
O que pesa 4290 kg e tem largura de 3,2 m.
A alternativa A é falsa, pois o caminhão tem largura maior do que a permitida, já que 3,3 > 3,25.
A alternativa B é falsa, pois o caminhão tem peso maior do que o permitido, já que 4305 > 4300.
A alternativa C é falsa, pois o caminhão tem largura maior do que a permitida, já que 3,3 > 3,25.
A alternativa D é falsa, pois o caminhão tem peso maior do que o permitido, já que 4400 > 4300.
A alternativa E é verdadeira, pois 4290 < 4300 e 3,2 < 3,25.
Na figura, as formiguinhas podem se movimentar na horizontal, na vertical ou diagonalmente. Qual é a menor quantidade de formiguinhas que devem mudar de posição para que, em cada linha e em cada coluna, fiquem somente duas formiguinhas?
0
1
2
3
4
Alguma formiguinha deve mudar de posição, pois a terceira linha e a terceira coluna do tabuleiro têm mais de duas formigas. Para que fiquem em cada linha e em cada coluna exatamente duas formigas, basta movimentar a formiga como ilustrado ao lado.
A figura abaixo é formada por três quadrados. A área do maior deles é 36 cm2 e a área do menor é 4 cm2. Qual é a área do terceiro quadrado?
8 cm2
9 cm2
12 cm2
16 cm2
25 cm2
O quadrado maior tem lado medindo 6 cm e o quadrado menor tem lado medindo 2 cm, já que a área de um quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. Portanto, de acordo com a distribuição geométrica dos quadrados na figura, o terceiro quadrado tem lado medindo 6 − 2 = 4 cm; logo, sua área é 16 cm².
A primeira fase da OBMEP é composta por três provas, de níveis 1, 2 e 3, com 20 questões em cada prova. Nessas provas, três questões são comuns aos três níveis, duas são comuns somente aos níveis 1 e 2 e outras duas são comuns somente aos níveis 2 e 3. As demais questões só aparecem em uma das provas. Quantas questões diferentes aparecem nas três provas da primeira fase da OBMEP?
50
52
55
56
57
A prova do nível 1 tem 20 questões; a prova do nível 2 tem 15 questões diferentes das questões do nível 1, pois há 3 questões comuns aos três níveis e 2 questões que são partilhadas entre os níveis 2 e 3 (assim há somente 13 questões que só aparecem no nível 2). Do mesmo modo, a prova do nível 3 tem 15 questões que só aparecem nesse nível, pois 3 questões são comuns aos três níveis e duas questões são partilhadas apenas nas provas dos níveis 2 e 3.
Não há questões comuns apenas entre os níveis 1 e 3.
Logo, no total, o número de questões diferentes que aparecem nas provas da primeira fase é 20 + 15 + 15 = 50. Isso também pode ser visualizado no diagrama abaixo:
Cinco cartões numerados de 1 a 5 são colocados inicialmente alinhados, como indicado na figura. Maria movimentou os cartões até chegar na posição final. A cada movimento, ela trocou dois cartões de posição, colocando cada um deles na posição em que estava o outro. Qual é o menor número de trocas que ela pode ter feito para chegar à linha final?
1
2
3
4
5
Com apenas uma troca de dois cartões, Maria não poderia ter feito a permutação de cartões descrita no enunciado. Podemos compreender isso analisando, por exemplo, o movimento do cartão 3: inicialmente ele ocupava a segunda posição e, ao final, passou a ocupar a terceira posição, que estava inicialmente ocupada pelo cartão 5. Logo, supondo que seja permitida uma única troca, deveria ter havido uma troca simples entre os cartões com os números 3 e 5, mas isto não ocorreu porque o cartão 5 não foi parar na segunda posição, que estava originalmente ocupada pelo cartão 3.
Com duas trocas de cartões, podemos realizar a tarefa feita por Maria, veja:
O retângulo ABCD tem área igual a 1 cm2 e os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados aos quais pertencem, conforme indicado na figura. Qual é a soma das áreas das regiões coloridas de azul?
2/7 cm2
1/3 cm2
1/4 cm2
2/9 cm2
1/6 cm2
Em virtude da simetria da figura, as medidas das áreas dos dois triângulos coloridos de azul que estão na esquerda são iguais às medidas das áreas dos triângulos coloridos de vermelho na direita. Portanto, a área procurada é igual à área do triângulo CDE. Como E é o ponto médio do lado AD, a área do triângulo CDE é metade da área do triângulo ACD e este, por sua vez, é metade da área do retângulo ABCD. Assim, a soma das áreas coloridas de azul é 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4 cm².
Na figura, aparecem seis hexágonos que têm verso branco ou azul, e o número que aparece em cada hexágono indica quantos de seus vizinhos têm o verso azul. Quantos hexágonos da figura têm verso azul?
2
3
4
5
6
Para facilitar, vamos rotular cada hexágono com uma letra, de A a F, ao lado.
Como no hexágono F está marcado 2, os hexágonos D e E têm versos azuis, pois são os únicos vizinhos de F. Como no hexágono B está marcado 3, seus vizinhos, os hexágonos A, C e D, têm versos azuis. Como no hexágono E está marcado 2 e ele é vizinho de C e D, que têm versos azuis, o hexágono F não tem verso azul. Finalmente, como no hexágono A está marcado 1 e ele é vizinho de D, que tem verso azul, o hexágono B não tem verso azul. Portanto, os hexágonos que têm verso azul são: A, C, D e E, um total de 4.
Os números naturais maiores do que 1 estão escritos em uma tabela de acordo com o padrão apresentado na figura abaixo. Qual é a linha em que aparece o número 1001?
1ª. Linha.
2ª. Linha.
3ª. Linha.
4ª. Linha.
5ª. Linha.
A cada 2 colunas avançamos 8 números, com a seta apontando no mesmo sentido. Por exemplo, começamos com o 2 e oito números depois, ou seja, no 10, voltamos para a mesma linha, na mesma condição de seta para baixo.
Isso acarreta que todos os múltiplos de 8 ficam sempre na mesma linha – que é a segunda (com a seta para cima), como mostramos na figura abaixo:
Como o número 1000 é múltiplo de 8, ele aparecerá na segunda linha com seta para cima e, portanto, o número 1001 estará na linha 1.
A figura mostra um trecho do teclado de um piano, com as notas associadas às teclas. Os nomes das notas se repetem, seguindo o mesmo padrão. O intervalo entre duas notas consecutivas é chamado de semitom. Por exemplo, na figura, a nota Si está 7 semitons acima da nota Mi (contam-se teclas pretas e brancas).
Qual é a nota que está 17 semitons acima da nota Lá?
Ré
Dó#
Fá
Dó
Sol
Como mostra a figura, os nomes das notas se repetem de 12 em 12.
Portanto, a nota que está 17 semitons acima da nota Lá tem o mesmo nome da nota que está 17 − 12 = 5 semitons acima da nota Lá, que é a nota Ré (Lá# – Si – Dó – Dó# – Ré).
Uma formiguinha passeia em uma malha formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm, como na figura. Ela parte do ponto P para o ponto Q, e sempre que encontra um vértice da malha, muda de direção, fazendo um giro de 60°. Ela repete sempre dois giros para a direita e um para a esquerda, percorrendo o caminho vermelho da figura. Em qual ponto da malha a formiguinha vai estar após percorrer 1000 cm?
A
B
C
D
E
O percurso da formiguinha é fechado, conforme ilustrado na figura. O comprimento desse ciclo é 18, o que significa que, ao caminhar de acordo com a regra enunciada, ela vai retornar ao ponto P depois de percorrer 18 segmentos. Então, ao percorrer 1000 segmentos, ela vai andar 55 ciclos e mais 10 segmentos, pois 1000 = 18 × 55 + 10. Ao andar mais 10 segmentos, depois de completar o último ciclo, ela vai estar no ponto E.
Alice colocou uma folha de papel cinzento de lados 40 cm e 50 cm em cima de uma folha branca de lados 70 cm e 80 cm, como indicado na figura. Em seguida ela dobrou a folha branca em cima da cinzenta pelas linhas pontilhadas. Qual é a área da parte cinzenta que não ficou coberta?
100 cm2
200 cm2
300 cm2
400 cm2
500 cm2
Observemos a figura ao lado.
Como os lados da folha menor são paralelos aos lados da folha maior, a soma dos comprimentos dos segmentos azuis é igual à diferença entre os comprimentos dos lados horizontais da folha branca e da folha cinza, ou seja, é igual a 70 − 40 = 30 cm; analogamente, a soma dos comprimentos dos segmentos vermelhos é igual a 80 − 50 = 30 cm. Desse modo, ao dobrarmos a folha branca pelas linhas pontilhadas, obteremos a figura abaixo, em que o retângulo cinza tem dimensões horizontal 40 − 30 = 10 cm e vertical 50 − 30 = 20 cm; sua área é, então, 200 cm².
Observe que a posição da folha cinza sobre a branca não é importante, desde que as margens vertical e horizontal das folhas mantenham-se respectivamente paralelas, ou seja, as distâncias 12 cm e 14 cm não são relevantes; de fato, mudando-as, a área da região cinza não coberta, após a dobra, continua a mesma.
Miguel saiu de casa, foi para a escola, voltou para o clube, foi para o cinema e voltou para casa, andando sempre pela rua representada na figura. Neste caminho existem duas árvores e a distância entre elas é de 900 m. Uma das árvores está na metade do caminho entre a casa e o clube e a outra árvore está na metade do caminho entre a escola e o cinema. Quantos metros Miguel andou?
900
1800
2700
3600
4500
O caminho percorrido por Miguel está indicado em azul na figura abaixo (AD + DC + CF + FA). Como AB = BC, pois B é ponto médio de AC, e DE = EF, pois E é ponto médio de DF, então, o caminho percorrido por Miguel mede AD + DC + CF + FA = (AB + BC + CD) + DC + (CD + DE + EF) + (FE + ED + DC + CB + BA) =
= (BC + BC + CD) + DC + (CD + DE + ED) + (DE + ED + DC + CB + BC) =
= 4 × BC + 4 × CD + 4 × DE = 4 × (BC + CD + DE) = 4 × BE = 4 × 900 = 3600 m.
Ana, Cláudia, Joaquim, Pedro e Fabiana se esconderam durante uma brincadeira. Nessa brincadeira,
Quem estava na casa da árvore?
Pedro e Fabiana.
Joaquim e Cláudia.
Ana e Joaquim.
Pedro e Ana.
Cláudia e Fabiana.
Temos três meninas: Ana, Cláudia e Fabiana, e dois meninos: Joaquim e Pedro e as condições:
I) havia exatamente duas crianças na casa da árvore;
II) Pedro, que nasceu em São Paulo, se escondeu junto com Fabiana;
III) uma menina se escondeu sozinha;
IV) Ana não estava sozinha em seu esconderijo;
V) o menino pernambucano estava na casa da árvore.
De acordo com a afirmação II), Pedro nasceu em São Paulo e, de acordo com a afirmação V), o menino pernambucano estava na casa da árvore. Portanto, Joaquim estava na casa da árvore.
Como Pedro e Fabiana se esconderam juntos, e como Joaquim estava na casa da árvore, Pedro e Fabiana não podiam estar na casa da árvore, pois, nesse caso, teríamos três crianças na casa da árvore, o que contradiria a afirmação I). A outra criança na casa da árvore deve ser ou Ana ou Cláudia.
Como uma menina se escondeu sozinha (afirmação III)) e Ana não estava sozinha (afirmação IV)), Ana estava na casa da árvore e Cláudia, sozinha.
Concluímos que Ana e Joaquim estavam escondidos na casa da árvore.
João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?
32
48
56
64
72
Observando a planificação, vemos que a menor soma possível para três faces vizinhas de um pequeno dado é 1 + 2 + 4 = 7 e, juntando adequadamente 8 dados na posição em que essas faces com soma mínima formem as faces do cubo grande, concluímos que a menor soma possível dos 24 números que aparecem nas faces do cubo grande é 8 × 7 = 56.
Mais detalhadamente, ao juntar os oito dados idênticos, formamos um cubo maior, como na figura ao lado, e em cada face desse cubo maior aparecem quatro números. Portanto, nas seis faces desse cubo maior aparecem 6 × 4 = 24 números. Por outro lado, cada vértice do cubo maior corresponde a um dos oito vértices do dado e cada vértice do dado tem três de suas faces concorrendo nesse vértice. Assim, os 24 números que aparecem nas seis faces do cubo maior são provenientes de faces comuns dos dados, faces essas que ficaram visíveis após a montagem, incluindo a que fica apoiada sobre a mesa. Logo, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado é igual a oito vezes a menor soma possível para as três faces comuns de um vértice de um dado.
Ao montar o dado a partir de sua planificação observamos que as faces opostas serão
2 e 5, 1 e 3, 6 e 4
Observamos também que as faces comuns aos vértices do dado serão:
Assim, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado será
8 × 7 = 56.
Um grupo de meninos e meninas brinca de roda. Nessa roda
Quantas crianças há nesse grupo?
29
30
31
32
33
Cada menina tem um menino ou uma menina à sua direita. Portanto, das duas primeiras informações dadas podemos concluir que há um total de 7 + 9 = 16 meninas. Da terceira informação podemos concluir que 1 − (2/5) = 3/5 dos meninos têm uma menina à sua esquerda, ou seja, 3/5 dos meninos representa o total de meninos com um menino à sua direita (9). Portanto, há um total de (5/3) × 9 = 15 meninos. Finalmente, podemos concluir que o grupo inteiro tem 16 + 15 = 31 integrantes. Um esboço de como a roda pode ter sido formada é o seguinte:
Priscila escreveu um número em cada um dos círculos vazios da figura, de modo que a soma dos quatro números escritos ficou igual à soma dos três números ligados pela linha vertical e igual à soma dos três números ligados pela linha horizontal. Qual é a soma dos quatro números que Priscila escreveu?
2020
3030
4040
5050
6060
Como a soma dos números dos 4 círculos brancos será igual à soma dos números dos círculos ligados pela linha horizontal, segue que a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha vertical será 2020. De modo semelhante, a soma dos números dos círculos brancos ligados pela linha horizontal será 2020. Assim, a soma total dos números escritos por Priscila nos 4 círculos é 2020 + 2020 = 4040.
Outra solução, utilizando-se rudimentos de álgebra:
a + b + c + d = a + 2020 + c, logo, b + d = 2020
a + b + c + d = b + 2020 + d, logo, a + b = 2020
Assim, a + b + c + d = 2020 + 2020 = 4040.
Três casais de irmãos dividem algumas maçãs. Ana pegou uma maçã, Bete pegou duas e Carla pegou três. Diogo pegou a mesma quantidade de maçãs que sua irmã pegou, Edson pegou o dobro do que sua irmã pegou e Fábio pegou o quádruplo do que sua irmã pegou. Sabendo que Fábio pegou menos maçãs do que Edson, quantas maçãs ao todo Diogo, Edson e Fábio pegaram?
11
12
13
15
16
Como Fábio pegou o quádruplo do número de maçãs de sua irmã e, mesmo assim, pegou menos maçãs do que Edson, que pegou o dobro do número de maçãs de sua irmã, concluímos que a irmã de Edson pegou mais do que o dobro do número de maçãs do que a irmã de Fábio. Logo, a irmã de Edson só pode ser Carla, que pegou três maçãs, enquanto a de Fábio é Ana, que pegou uma maçã. Portanto, a irmã de Diogo é Bete; logo, Diogo pegou 2 maçãs (o mesmo que Bete), Edson pegou 6 (o dobro de Carla) e Fábio pegou 4 (o quádruplo de Ana). Portanto, os três pegaram ao todo 2 + 6 + 4 = 12 maçãs.
Dentre essas 6 possibilidades, somente a penúltima satisfaz o enunciado (Fábio pegou menos maçãs do que Edson).
A calculadora de Raul possui duas teclas especiais. Uma delas é a T, que triplica o número que está no visor. A outra é a A, que apaga a unidade do número que está no visor (se o número possuir apenas um algarismo, a tecla A não faz nada). Por exemplo, se o número 5 estiver no visor e as teclas T e A forem apertadas, nessa ordem, aparecerá o número 1 no visor. Quantos números podem estar inicialmente no visor de modo que, após Raul apertar as teclas T, A, T e A, nessa ordem, apareça o número 78 como resultado final?
4
13
26
100
234
Para que o resultado final seja 78, o número antes de apertar a última tecla (A), deve ser 78X, em que X denota o algarismo das unidades. O número 78X também deve ser múltiplo de 3 pois anteriormente foi apertada a tecla T, que multiplicou o número por 3. Portanto, X só pode ser 0, 3, 6 ou 9. Observe.
Analogamente, devemos novamente acrescentar algarismos das unidades que tornem os números múltiplos de 3.
Assim,
Logo, são 13 possíveis números que Joaquim poderá iniciar na calculadora.
Treine por assunto, por dificuldade ou com questões de todas as edições.