OBMEP 2014 · Nível 3 (ensino médio): prova com gabarito

Seja x o número de caras consecutivas obtidas após os primeiros 2014 lançamentos. Então, de acordo com o enunciado do problema, x deverá satisfazer a igualdade

997 + x = (2014 + x)/2,

ou, equivalentemente, 1994 + 2_x_ = 2014 + x, de onde obtemos x = 2014 − 1994 = 20.

Como x > 0, multiplicamos os termos das desigualdades 0 < x < y < 1 por x e obtemos:

x · 0 < x² < xy < x

Concluímos que 0 < xy < x.

Podemos organizar as informações numa tabela:

Se Andrea estivesse certa, então Fernanda não acertaria nenhuma das informações. Logo, não é ela que está certa, nem Fernanda (pelo mesmo motivo). Se Daniela estivesse certa, então Tatiane também nada acertaria. Logo Daniel e Tatiane não estão certas. Se Patrícia acertar tudo, as demais também acertarão alguma informação e, portanto, Patrícia é a única que está certa.

Nos dois primeiros minutos, o carro andou a 90 km/h = 90 km/(60 min) = 1,5 km/min, ou seja, Guilherme andou, nos primeiros 2 minutos, 2 × 1,5 = 3 km. Falta percorrer 5 − 3 = 2 km no tempo de 3 minutos.

A velocidade suficiente para isto é

O lado do quadrado maior é √R e o lado do menor √S. Traçamos o segmento BG e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos ABG e BFG, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo ABG é (√R · √R)/2 = R/2 e a área do triângulo BFG é (√S · √S)/2 = S/2. Logo, a área da região cinza é (R + S)/2.

Outra solução:
Construímos o triângulo BFH congruente ao triângulo BEF e denotamos por X a área de cada um deles. Se a área da região cinza é Y observamos que

Y + X = A(ADGH)/2 = (R + S + 2_X_)/2 = (R + S)/2 + X,

de onde concluímos que Y = (R + S)/2.

Como em cada face aparecem quatro números consecutivos, então na face onde estiver o número 1, obrigatoriamente estarão os números 1, 2, 3 e 4. Logo, na face onde estiver o número 5 estarão os números 5, 6, 7 e 8, e assim, sucessivamente, até chegarmos à face com os números 21, 22, 23 e 24.

Sendo assim, no cubo apresentado a face com o número 23 também apresenta os números 21, 22 e 24. Como o enunciado diz que a soma do maior número de uma face com o menor da face oposta é igual a 25, podemos concluir que na face oposta à que contém o 23 estão os números 1, 2, 3 e 4. Na face em que aparece o número 7 aparecem os números 5, 6 e 8, e na face oposta a esta estão os números 17, 18, 19 e 20. Logo, na face destacada (em cinza) pode estar qualquer número de 9 até 16.

Como a pergunta é qual é o menor número que pode aparecer na face cinza, a resposta é 9.

Quando pintarmos o papel em forma de pentágono dos dois lados, a área total pintada será de 28 cm². Esta área pintada inclui a área de um dos lados do retângulo original, que ficará totalmente azul, e a área pintada do outro lado. Se da área total de 40 cm², correspondente aos dois lados do retângulo, retirarmos a área pintada de 28 cm², teremos 12 cm² de área não pintada.

Cada figura é formada por 3 cópias da figura anterior, posicionadas de modo a colocar em contato apenas dois pares de quadradinhos das cópias das figuras. Em consequência, o comprimento do contorno da nova figura é igual a 3 vezes o comprimento do contorno da anterior, menos 4 cm (correspondentes aos lados em contato).

A tabela abaixo dá o comprimento do contorno das sucessivas figuras.

Portanto, o contorno da Figura 6 mede 488 cm.

As notas x e y obtidas pelo aluno nas duas provas devem ser tais que (x + y)/2 ≥ 6, ou seja, x + y ≥ 12. Os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação x + y = 12 pertencem à reta que corta os eixos nos pontos (0, 12) e (12, 0). Os que satisfazem a desigualdade correspondem ao semiplano determinado por esta reta que não contém a origem. A região pedida é a interseção desse semiplano com o quadrado formado pelas notas possíveis (ou seja, satisfazendo às condições 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10), representada na alternativa E.

Como Gustavo possui pelo menos uma moeda de cada tipo, ele não pode ter 2 moedas de 50 centavos, senão formaria 1 real. Ele também não pode ter 2 moedas de 25 centavos. Com a moeda de 50 centavos e com uma moeda de 25 centavos ele também não pode formar 1 real. Concluímos assim, que Gustavo possui uma moeda de 50 centavos e uma moeda de 25 centavos. Gustavo não pode ter 5 moedas de 10 centavos, senão junto com a moeda de 50 centavos ele formaria 1 real.

Para maximizar, podemos supor que ele tem, então, quatro moedas de 10 centavos. Com elas e com as moedas de 50 e 25 centavos ele não consegue formar 1 real. Por fim, ele não pode ter cinco moedas de 1 centavo, pois se tivesse, formaria 1 real juntando a elas a moeda de 50 centavos com a de 25 centavos e mais duas de 10 centavos. Assim, Gustavo deve ter, no máximo, quatro moedas de 1 centavo. Logo, o maior valor total possível que Gustavo pode ter é

centavos, ou seja, R$ 1,19.

Devido às simetrias presentes na figura, podemos construir o quadrado ABCD, com vértices A, B, C e D situados nos centros de cada uma das circunferências, conforme mostrado na figura. Observamos que em cada circunferência, os dois lados do quadrado que saem do centro dela determinam um arco cujo comprimento é 3/2 + 3 + 3/2 = 6, sendo essa medida a quarta parte do comprimento de cada círculo. Logo, o comprimento de cada círculo é 24.

Como n! = 2¹⁵ · 3⁶ · 5³ · 7² · 11 · 13, tem-se n ≥ 13. Por outro lado,

13! = 13 · (2² · 3) · 11 · (2 · 5) · 3² · 2³ · 7 · (2 · 3) · 5 · 2² · 3 · 2 = 13 · 11 · 7 · 5² · 3⁵ · 2¹⁰,

E, portanto,

= 2⁵ · 3 · 5 · 7 = 14 · 15 · 16.

Logo, n! = 13! · 14 · 15 · 16 = 16!, ou seja, n = 16.

As informações sobre os componentes da orquestra estão representadas no diagrama.

Seja x o número de componentes que tocam instrumentos de sopro e percussão. É claro que x ≤ 6.

O número de componentes da orquestra é dado pela soma:

23 + 8 + (6 − x) = 37 − x; sabendo que x ≤ 6, temos que o número mínimo de componentes da orquestra ocorre quando x = 6, ou seja, quando a orquestra tem 31 componentes.

Sendo x a distância percorrida com as duas juntas e y a distância percorrida apenas por Talia, fica claro que Isabel deve pagar pela distância x e Talia pela distância x + y. Como os pagamentos são proporcionais a essas distâncias, a fração correspondente a Isabel é x/(x + (x + y)) = x/(2_x_ + y). Seja p o preço por quilômetro rodado. Então

Portanto, Isabel deve pagar

do valor total, ou seja, Talia deve receber de Isabel (3/8) · 44 = R$ 16,50. Observe que não foi necessário conhecer o valor de p.

Como 1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5, os possíveis números são formados pelos algarismos:

• 5, 5, 5, 2 e 4, caso em que contabilizamos 5 · 4 = 20 possibilidades: 5 possibilidades para a posição do algarismo 2 e 4 possibilidades para o algarismo 4 (as demais casas do número devem receber o algarismo 5).
• 5, 5, 5, 8 e 1, caso em que, de forma análoga, contabilizamos 5 · 4 = 20 possibilidades.

Logo, existem 20 + 20 = 40 números com tal propriedade.

Denotaremos por AF a área de uma figura F e por ~ a relação de semelhança de triângulos. Sejam b a medida da base do paralelogramo e h sua altura. Então:

AABC = 24 cm² ⇒ b · h = 24 cm²

Δ_GCF_ ~ Δ_GDA_ ⇒ h₁/h₂ = (b/2)/b ⇒ h₁/h₂ = 1/2 ⇒ h₂ = 2_h_₁ ⇒ 3_h_₁ = h ⇒ h₁ = h/3

Portanto, AGFC = ((b/2) · (h/3))/2 = (b · h)/12 = 24/12 = 2 cm².

Da mesma forma, também podemos concluir que AAHE = 2 cm².

Vamos calcular agora a área A_BEF, lembrando que triângulos semelhantes possuem áreas relacionadas com o quadrado da constante de proporcionalidade:

Δ_EBF_ ~ Δ_ABC_ ⇒ AEBF/AABC = ((b/2)/b)² = (1/2)² = 1/4 ⇒ AEBF = AABC/4 = 12/4 = 3 cm².

Agora vamos calcular a área do quadrilátero EFGH por diferença:

AEFGH = AABC − AGFC − AAEH − AEBF = 12 − 2 − 2 − 3 = 5 cm².

Outra solução: ADFC = (1/4) · AABCD = 6, ADEA = (1/4) · AABCD = 6, ABFE = (1/8) · AABCD = 3.

Daí, ADEF = 24 − 6 − 6 − 3 = 9. Temos que Δ_DEF_ ~ Δ_DHG_ e a razão entre suas alturas é

Portanto, ADHG = (4/9) ADEF = 4. A área procurada é a diferença 9 − 4 = 5 cm².

Como as faces opostas somam 7, as faces podem ser divididas em três duplas: {1,6}, {2,5} e {3,4}.

Vamos considerar três casos:

a) Os algarismos que aparecem no topo dos três dados são todos da mesma dupla.

Neste caso, a dupla {1,6} gera 2 × 2 × 2 = 8 números diferentes: 111, 116, 161, 611, 661, 616, 166 e 666. Analogamente, a dupla {2,5} gera outras oito possibilidades e a dupla {3,4} mais oito. Assim, neste primeiro caso temos um total de 24 possibilidades.

b) Dois dos algarismos do topo pertencem a uma dupla e o outro pertence a uma dupla diferente.

Pensemos nas possibilidades de formação de números em cada uma das linhas da tabela acima; por exemplo, no caso em que 1 ou 6 aparece no topo de dois dados e no outro dado aparece 2 ou 5, teremos 3 × 2 × 2 × 2 = 24 possibilidades (a saber: 112, 121, 211, 115, 151, 511, 162, 126, 216, ... , 566). Analogamente, cada um dos casos apresentados nas linhas da tabela produzirão 24 números diferentes.

No total, neste caso teremos 6 × 24 = 144 possibilidades.

c) Os três números que aparecem no topo dos dados são provenientes de números de duplas diferentes. Este caso nunca ocorre, pois é impossível enfileirar os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número. Logo, podemos obter 24 + 144 = 168 números diferentes.

Outra solução, utilizando o complementar: já que o caso c) não ocorre, basta descontar do total de números obtidos sem restrições de contato (6 × 6 × 6 = 216) os números obtidos que utilizam algarismos das três duplas. Para formar números utilizando algarismos das três duplas, temos 6 escolhas para o primeiro dado (números das 3 duplas), 4 escolhas para o segundo dado (números de duas duplas) e 2 escolhas para o terceiro dado (números de uma dupla). Logo, existem 6 × 4 × 2 = 48 números no caso c). Consequentemente, Mônica pode obter 216 − 48 = 168 números.

Uma terceira solução é a seguinte: podemos considerar inicialmente três casos:

a) As faces 1 e 6 (ou 6 e 1) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {2, 3, 4, 5}. Neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes.

b) As faces 2 e 5 (ou 5 e 2) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 3, 4, 6}. Analogamente, neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a).

c) As faces 3 e 4 (ou 4 e 3) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto {1, 2, 5, 6}. Como nos casos anteriores, no topo dos três dados, podem aparecer 4 × 4 × 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a) ou no caso b).

Os três casos juntos produzem 3 × 64 = 192 números, porém nem todos distintos. Precisamos retirar desta contagem os números comuns aos casos a) e b), b) e c) e a) e c). Não há algarismos comuns aos três casos.

Como {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4, 6} = {3, 4}, os algarismos comuns aos casos a) e b) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 3 e 4. A quantidade de tais números é 2 × 2 × 2 = 8.

Analogamente, como {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 2, 5, 6} = {2, 5}, os algarismos comuns aos casos a) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2 × 2 × 2 = 8.

Do mesmo modo, como {1, 3, 4, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {1, 6}, os algarismos comuns aos casos b) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2 × 2 × 2 = 8.

Assim, Mônica pode obter 3 × 64 − 3 × 8 = 168 números diferentes.

Como em um compasso, o giro de um ponto em torno de outro é sempre um arco de circunferência. Como o ponto A gira duas vezes, a primeira vez em torno de C e a segunda vez em torno de B, sua trajetória será a união dos arcos de duas circunferências. Logo, somente as alternativas A) e B) podem estar certas. A alternativa B) é facilmente descartada, pois ao terminar o primeiro giro, o ponto A não fica sobre a reta que apoia o triângulo. Assim, a figura que aparece na alternativa A), sendo a união de dois arcos de circunferência de 120°, é a que representa a trajetória do ponto A.

Podemos supor que o primeiro cubo tem cinco faces vermelhas e uma branca. Seja v o número de faces vermelhas do segundo cubo. Ao se lançar os dois dados, há 6 × 6 = 36 casos possíveis. Para que as faces tenham a mesma cor, devem ser ambas vermelhas (5 × v possibilidades) ou ambas azuis (1x(6 − v)possibilidades). A probabilidade de se observar faces iguais é, portanto,

Número de casos favoráveis/Número de casos possíveis = (5_v_ + (6 − v))/36 = (4_v_ + 6)/36 = (2_v_ + 3)/18

Para que a probabilidade possa ser igual a 11/18, deve-se ter 2_v_ + 3 = 11, ou seja, v = 4. O segundo cubo deve ter, portanto, 4 faces vermelhas.

Como as marcas 49 e 71 ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma dobra exatamente no ponto médio, isto é, em (49 + 71)/2 = 60. Como o processo iniciou-se com a marca 0, o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras sucessivas, deve ser um divisor de 60. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. Mas, estando 49 e 71 em pedaços vizinhos, descartamos os divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10 pois a distância de 49 (ou 71) até a dobra 60 é 11, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as possibilidades 12, 15, 20, 30 ou 60 e, para isto, usaremos a informação de que a marca 139 ficou alinhada com 49 e 71.

As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68. Como a marcação de 139 coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de 24, 30, 40, 60 ou 120. Mas 68 não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto 90 é múltiplo apenas de 30. Portanto, o tamanho de cada pedaço é 15, o que faz com que a última dobra ocorra na marca de 195 cm e, daí, ao dobrar-se o último pedaço, a marca de 200 cm fica sobre 195 − (200 − 195) = 190 cm.

As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco possíveis valores das medidas dos pedaços.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 12, teríamos a situação descrita pela figura ao lado e a marca 139 não estaria alinhada com 71 e 49. Logo, este caso não ocorre.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos a seguinte situação:

Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir que os demais casos não podem ocorrer:

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 20, teríamos a seguinte situação:

Este caso também não pode ocorrer pois 139 não se alinha com 49 e 71.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 30, teríamos a seguinte situação:

E vemos que também este caso também não ocorre.

Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 60, teríamos a seguinte situação:

Este último caso também não ocorre.

Logo o comprimento de cada pedaço é 15 cm e a última dobra é feita na marca 195; assim a marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.