OBMEP 2013 · Nível 1 (6º e 7º anos): prova com gabarito

Quando abrir a fita métrica, Dona Célia verá o trecho da fita representado na figura: a mancha cinzenta corresponde à porção da fita que estava em volta da cintura de Marta. A medida da cintura de Marta é a distância entre os pontos marcados com 77 e 23, ou seja, é 77 − 23 = 54 cm.

O maior número de três algarismos diferentes é 987 e o menor número de três algarismos diferentes é 102 (observamos que o algarismo 0 não pode aparecer na casa das centenas). A diferença entre esses números é 987 − 102 = 885.

A única maneira de somar três números distintos entre 1, 2, 3, 4, e 5 e obter o resultado 6 é 1 + 2 + 3 = 6. Logo os cartões com as letras O, B e E têm, em seu verso, os números 1, 2 ou 3 (não necessariamente nessa ordem). Ao olhar para o verso dos cartões com as letras O e P, Caetano vê no verso do cartão O um dos números 1, 2 e 3. Observando as somas 1 + 7 = 8, 2 + 6 = 8 e 3 + 5 = 8, e lembrando que o número no verso do cartão P é no máximo 5, vemos que os números no verso dos cartões O e P são, respectivamente, 3 e 5. Resta o número 4, que é o que está no verso do cartão M.

Em cada uma das nove primeiras colunas da tabela, o número da primeira linha é sempre duas unidades maior que o da segunda linha. Logo, nessas colunas, a segunda linha supera a primeira por um total de 18 unidades. Portanto, para que a soma das duas linhas seja igual, o número a ser colocado na casa azul deve ser 2013 − 18 = 1995.

Outra solução equivalente é notar que os números de 3 a 17 estão repetidos nas duas linhas; a diferença entre elas é então 2013 + 1 − 19 = 1995, que é número que está escondido.

A tabela abaixo mostra as possíveis idades da professora, calculadas a partir da resposta de cada menina e dos erros 2, 3 e 5 anos para mais ou para menos:

O único número que aparece nas três linhas e nas três colunas é 27; logo, essa é a idade da professora.

Como as faixas são retângulos de mesmas dimensões, elas têm a mesma área, que é 36 ÷ 3 = 12 m². Segue que:

• na faixa inferior, a área de cada parte é 12 ÷ 2 = 6 m²; essa é a área da parte cinza;
• na faixa do meio, a área de cada parte é 12 ÷ 3 = 4; as duas partes cinzas têm então área total igual a 2×4 = 8 m²;
• na faixa do cima, a área de cada parte é 12 ÷ 4 = 3; as três partes cinzas têm então área total igual a 2×3 = 6 m².

A área total da região colorida de cinza é, portanto, 6 + 8 + 6 = 20 m².

Como Abelardo tinha exatamente dois amigos à sua frente, o lado da mesa oposto a ele tinha exatamente duas pessoas. Como Beto tinha um único amigo à sua frente, o lado da mesa oposto a ele tinha exatamente uma pessoa. Carlos tinha quatro amigos à sua frente, logo o lado da mesa oposto a ele tinha exatamente quatro pessoas e Daniel tinha cinco amigos à sua frente, de modo que o lado da mesa oposto a ele tinha cinco pessoas. Como a mesa tem exatamente quatro lados, pode-se concluir que o número de meninos à mesa era 1 + 2 + 4 + 5 = 12.

A tabela abaixo mostra, em reais, o preço de todas as refeições possíveis:

Os únicos valores nessa tabela que diferem por R$9,00 são R$20,00 e R$11,00 (assinalados em vermelho). Logo o almoço de Beatriz foi um prato simples e suco de laranja, enquanto André pediu um prato especial e suco de manga.

O polígono tem 14 lados que são segmentos verticais e 14 que são segmentos horizontais. Seu perímetro é a soma dos comprimentos desses 28 segmentos; logo, o comprimento de cada segmento é 56 ÷ 28 = 2 cm. Podemos agora decompor o polígono em 25 quadrados de 2 cm de lado, como na figura ao lado. A área de cada quadrado é 2×2 = 4 cm² e a do polígono é então 25×4 = 100 cm².

Como há alternância de pedras pretas e brancas e mais pedras pretas do que brancas, as quatro pedras dos cantos da piscina devem ser pretas. Observando a figura ao lado, vemos que o total de pedras pretas é

40 + (40 − 2) + 40 + (40 − 2) = 40 + 38 + 40 + 38 = 156.

Alternativamente, podemos somar o número de pedras pretas em cada lado, obtendo 40 + 40 + 40 + 40 = 160 e depois notar que as pedras pretas nos cantos da piscina foram contadas duas vezes. Isso introduz um erro de 4 na contagem anterior; a contagem correta é então 160 − 4 = 156 pedras pretas.

Vamos analisar as afirmativas uma a uma, de acordo com a figura ao lado.

a) falsa: o período de maior precipitação (1º semestre 2008) teve o maior número de casos notificados de dengue, mas não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010).

b) falsa: o período com menor número de casos notificados de dengue (2º semestre 2007) não foi o de maior temperatura média (2º semestre 2010).

c) falsa: o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) não foi o de maior precipitação (1º semestre 2008).

d) verdadeira: o período de maior precipitação (1º semestre 2008) não foi o período de maior temperatura média (2º semestre 2010) e teve o maior número de casos notificados de dengue.

e) falsa: basta comparar o 1º semestre de 2007 com o 2º semestre de 2009: no primeiro a precipitação é maior do que no segundo, mas o seu número de casos de dengue é menor.

Ao somar os algarismos das unidades, encontramos 77×7 = 539. Logo, o algarismo das unidades da soma é 9 e 53 deve ser adicionado à casa das dezenas. A soma dos algarismos 7 que aparecem nas dezenas é 76×7 = 532, que somada a 53 dá 585. Logo, o algarismo das dezenas é 5.

Alternativamente, podemos observar que os algarismos das dezenas e unidades da soma só dependem da soma dos algarismos das unidades e das dezenas das parcelas, ou seja, são os mesmos que os algarismos correspondentes da soma

logo, o algarismo das dezenas da soma indicada é 9 e o das dezenas é 5.

Carlinhos pode pintar P de verde ou amarelo. Se ele pintar o P de verde, ele poderá pintar o 2 de azul ou de amarelo; se ele pintar o P de amarelo, ele só poderá pintar o 2 de azul. No total, ele pode pintar o 2 e o P de 2 + 1 = 3 maneiras diferentes. Isso feito, as outras letras e os outros algarismos só podem ser pintados de uma única cor, ou seja, Carlinhos pode pintar o letreiro de 3 maneiras diferentes. Indicando amarelo por A, azul por Z e verde por V, essas maneiras são

(as letras sublinhadas indicam as cores de P e de 2).

Aqui usaremos os termos peso e massa como sinônimos, para tornar o texto mais próximo da linguagem coloquial.

Uma melancia é constituída de duas partes: água e componentes sólidos (fibras, açúcares, etc.). Durante a desidratação somente ocorre perda de água; o peso dos demais componentes, antes e depois da desidratação, permanece o mesmo.

O enunciado diz que, após ser desidratada, a melancia pesa 6 kg, dos quais 90% correspondem a água; os 10% restantes, cujo peso é (1/10)×6 = 6/10 = 0,6 kg, correspondem aos componentes sólidos. Por outro lado, antes de ser desidratada, a melancia tinha 95% de água, logo ela continha 5% de componentes sólidos; como o peso desses componentes não muda, vemos que 5% do peso original da melancia era 0,6 kg. Portanto 10%, ou seja, a décima parte, do peso original da melancia era igual a 1,2 kg; logo, o peso original da melancia era 10×1,2 = 12 kg.

A solução acima pode ser visualizada na figura a seguir, que consiste de dois retângulos que representam o peso da melancia antes e depois de ser desidratada; em ambos, o retângulo sombreado representa o peso dos componentes sólidos. No primeiro retângulo, o pequeno retângulo sombreado corresponde a 5% do peso da melancia, que corresponde então a 20 desses retângulos, pois 20×5% = 100%. Já no segundo retângulo, o pequeno retângulo sombreado corresponde a 10% do peso da melancia, que corresponde então a 10 desses retângulos, pois 10×10% = 100%. Logo o peso da melancia antes de ser desidratada (correspondente a 20 retângulos), era igual a duas vezes o peso da melancia após a desidratação (correspondente a 10 retângulos), ou seja, era 12 kg.

Como 2/3 L de água enche uma caneca, segue que 3×(2/3) = 2 L de água enchem 3×1 = 3 canecas. Logo, (1/4)×2 = 1/2 L de água encherá (1/4)×3 = 3/4 de uma caneca.

Outra solução pode ser obtida considerando a figura ao lado. A coluna da direita, em verde, representa 1L de água; cada quadradinho corresponde a 1/6 L. A coluna da esquerda, em azul, representa a capacidade da caneca, que é de 2/3 = 4/6 L; observamos que cada quadradinho azul corresponde a 1/4 da capacidade da caneca.

Dividindo a figura ao meio pela linha vermelha, vemos que três quadrados verdes (1/2 L de água) correspondem a três quadrados azuis (3/4 da capacidade da caneca). Logo, 1/2 L de água enche 3/4 da caneca.

A soma de todas as faces de um cubo é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 21. A soma das faces visíveis é então igual a 6×21 = 126 − (a soma das faces escondidas). Logo, para que a soma das faces visíveis seja máxima, devemos posicionar os cubos de modo que a soma dos números das faces escondidas seja mínima. Vamos minimizar essa soma considerando um cubo de cada vez, de acordo com a numeração da figura ao lado.

• Cubo 1: há apenas uma face escondida, que deve ser a de número 1.
• Cubos 2 e 4: em cada um há três faces escondidas. Dessas faces, duas são opostas e somam 7; a terceira face deve ser a de número 1. A soma dessas faces é 2×(1 + 7) = 16.
• Cubos 3 e 6: em cada um há duas faces vizinhas escondidas, que devem ser as de número 1 e 2 (como esses números não somam 7, as faces correspondentes não são opostas, logo são adjacentes). Essas faces somam 2×(1 + 2) = 6.
• Cubo 5: há dois pares de faces opostas escondidas, que somam 14.

Logo, a soma máxima possível é 126 − (1 + 16 + 6 + 14) = 126 − 37 = 89.

Os 40 alunos da sala podem ser divididos em quatro grupos disjuntos:

• SS: responderam sim às duas perguntas;
• SN: responderam sim à primeira pergunta e não à segunda;
• NS: responderam sim à primeira pergunta e não à segunda;
• NN: responderam não às duas perguntas.

Na figura ao lado, representamos esquematicamente as informações do enunciado:

• os grupos, juntos, formam a turma, que tem 40 alunos;
• SS e SN, juntos, têm 28 alunos;
• NS e SS, juntos, têm 22 alunos;
• NN tem 5 alunos.

Como NN tem 5 alunos, os grupos NS, SS e SN têm, juntos, 40 − 5 = 35 alunos. O diagrama mostra que, se somarmos o número de alunos dos grupos NS e SN com duas vezes o número de alunos do grupo SS, o total será 22 + 28 = 50. Como o número total de alunos desses três grupos é 35, segue que o número de alunos do grupo SS é 50 − 35 = 15.

O enunciado pode ser expresso, em centavos, na forma _AB_93×18 = 3_C_27_D_, onde A, B, C e D representam os algarismos que foram apagados. O algarismo D é o algarismo das unidades de 3×8 = 24, ou seja, é 4; o resultado da multiplicação é então 3_C_274. Observamos que o resultado, por ser múltiplo de 18, também é múltiplo de 9; logo, a soma de seus algarismos deve ser também um múltiplo de 9. Como 3 + 2 + 7 + 4 = 16, o único valor possível para C é 2, ou seja, o resultado é 32274. Como 32274 ÷ 18 = 1793, concluímos que A corresponde a 1 e B corresponde a 7. A soma dos algarismos apagados é então 1 + 7 + 2 + 4 = 14.

Na tabela abaixo mostramos como analisar as informações do enunciado. Na primeira linha, supomos que Bernardo disse a verdade; na segunda, que Guto disse a verdade e na terceira, que Carlos disse a verdade.

Nas duas primeiras linhas, chega-se à conclusão de que o celular de Guto tanto tocou quanto não tocou (em vermelho). Essa contradição mostra que o único caso possível é o da terceira linha, ou seja, Carlos disse a verdade e os celulares de Guto e Carlos tocaram.

Para que a diferença seja mínima, os algarismos das dezenas de milhares devem ser consecutivos. Além disso, o número formado pelos quatro últimos algarismos do maior número deve ser o menor possível, enquanto o formado pelos quatro últimos algarismos do menor deve ser o maior possível. Com quatro algarismos distintos, o maior número que podemos formar é 9876 e o menor é 0123 (note que aqui podemos usar o 0, pois não estamos trabalhando com a primeira posição à esquerda). Assim, os algarismos consecutivos a serem usados para as dezenas de milhares são 4 e 5. Os dois números são, portanto, 50123 e 49876, cuja diferença é 50123 − 49876 = 247.

Podemos enxergar o argumento acima na reta numérica, da seguinte maneira. A figura a seguir mostra os pontos (em vermelho) que correspondem a dezenas de milhares.

Observamos que se dois números quaisquer (em preto na figura abaixo) correspondem a números cujos algarismos na casa das dezenas de milhares não são consecutivos, sua diferença é maior que 10000.

Como é possível escrever dois números de cinco algarismos usando todos os algarismos de 0 a 9 cuja diferença é menor que 10000 (por exemplo, 40926 − 35781 = 5145), segue que os dois desses números cuja diferença é mínima devem ter algarismos das dezenas de unidade consecutivos. Uma vez escolhidos esses dois algarismos, a figura abaixo mostra como devemos posicionar os números (em preto) na reta.

Finalmente, observamos que a escolha de 4 e 5 para a casa das dezenas de unidade de nossos números permite escolher, para os milhares do menor número, o maior número possível (9876) e, para os milhares do maior número, o menor número possível (0123). Logo nossos números são 49876 e 50123, cuja diferença é 50123 − 49876 = 247.