OBMEP 2011 · Nível 2 (8º e 9º anos): prova com gabarito

Observamos que 2 litros equivalem a 2000 mililitros. Como 200 = 15 × 130 + 50, é possível encher completamente 15 copos de 130 mililitros e ainda restam 50 mililitros na jarra.

Queremos dividir 1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2001 + 21 = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2001 + 16 + 5 por 8. Como as duas primeiras parcelas do lado direito dessa expressão são múltiplos de 8, sua soma também é um múltiplo de 8. Portanto, o resto da divisão desse número por 8 é 5.

No gráfico lemos que a Baratocel vendeu 2500 celulares ao preço de R$170,00 cada, 2000 celulares ao preço de R$235,00 cada e 1000 celulares ao preço de R$260,00 cada um. Ao todo a Baratocel vendeu 5500 celulares e o valor total da venda foi de 2500 × 170 + 2000 × 235 + 1000 × 260 = 1155000 reais. Logo o preço médio de um celular vendido foi de 1155000 ÷ 5500 = 210 reais.

Na figura vemos que a região cinza tem área igual à soma de oito vezes a área de cada um dos triângulos em cinza escuro. Denotando por ℓ a medida do lado de cada quadradinho, segue cada um dos triângulos em cinza escuro tem área (1/2) × ℓ × 4ℓ = 2ℓ². Logo a área da região cinza é 16 × 2ℓ² = 32ℓ². Como a área do quadrado é 64ℓ², segue que a área da região cinza é metade da área do quadrado, ou seja, a razão entre a área da região cinza e a área do quadrado é 1/2.

Para representar os números com dois algarismos diferentes, a partir do número 40, Vovô Eduardo precisou de 10 velinhas com os algarismos de 0 a 9. Para representar os números de dois algarismos repetidos (os números 44, 55, 66 e 77), ele precisou comprar mais 4 velinhas com os algarismos de 4 a 7. Portanto, ele precisou comprar, até agora, 10 + 4 = 14 velinhas.

O comprimento da parte da corda que fica entre as polias fixas diminuirá 15 + 25 = 40 metros depois que os homens puxarem a corda. A polia móvel imediatamente acima do piano distribui ao meio esses 40 metros; assim, o piano subirá 40 ÷ 2 = 20 metros.

A maior porcentagem possível de entrevistados que não possuem pelo menos um dos dois eletrodomésticos é 15% + 20% = 35%. Logo o menor número possível de pessoas que possuem os dois eletrodomésticos é 100% − 35% = 65%, que corresponde a 0,65 × 1000 = 650 dos entrevistados.

Cada time jogou três vezes. Com 5 pontos, o Cruzínthians só pode ter vencido uma partida e empatado duas, pois se tivesse vencido duas partidas, teria pelo menos 6 pontos e se não tivesse vencido nenhuma, teria no máximo 3 pontos. O Greminense não venceu nenhuma partida, pois obteve apenas 2 pontos; logo empatou duas partidas e perdeu uma. O Flameiras, em segundo lugar com 3 pontos, não venceu nenhuma partida, pois se isso tivesse acontecido ele teria que ter perdido duas; como o Greminense não ganhou nenhuma e o Cruzínthians apenas uma, ele teria perdido para o Nauritiba. Mas o mesmo raciocínio mostra que então o Nauritiba, tendo ganho a partida com o Flameiras, deveria ter perdido para Flameiras! Como isso não pode acontecer, concluímos que o Flameiras e o Greminense empataram suas três partidas. Logo o número de empates foi 3 + 3 − 1 = 5; o −1 aparece nessa expressão pois o empate entre Flameiras e Nauritiba deve ser contado apenas uma vez.

Outra solução é notar que em cada jogo disputado são distribuídos 2 pontos, no caso de empate ou 3 pontos, caso não ocorra empate. Como cada um dos quatro times jogou uma única vez com seus três adversários, foram disputados ao todo seis jogos, nos quais foram distribuídos 5 + 3 + 3 + 2 = 13 pontos. A única maneira de parcelar 13 em seis parcelas de 2 ou 3 é 13 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; logo, cinco dos seis jogos terminaram empatados.

Observamos que

Como a cada letra está associado um número, podemos simplificar a fração cancelando letras iguais no numerador e denominador, obtendo

Sejam a e b os lados do triângulo e do hexágono, respectivamente. Na figura ao lado vemos o triângulo decomposto em quatro triângulos equiláteros congruentes, formados pelos segmentos que ligam os pontos médios de seus lados; o lado de cada um desses triângulos menores é a/2. Vemos também o hexágono decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, cada um de lado b. Como o perímetro do hexágono e do triângulo são os mesmos, temos 3_a_ = 6_b_. Logo b = a/2 e todos os triângulos menores na figura são congruentes. Por outro lado, como a área do hexágono é 6 m², cada triângulo menor tem área 1. Logo a área do triângulo é 4 m².

Suponhamos que todos os irmãos e irmãs estejam em casa, exceto Ana, que saiu para passear. Nesse momento, João tem 6 irmãos a mais que irmãs em casa; contando o João, há então 7 meninos a mais que meninas em casa. Como as meninas em casa são as irmãs de Ana, segue que Ana tem 7 irmãos a mais que irmãs.

Uma solução algébrica é a seguinte. Seja x o número de irmãos de João e y o número de suas irmãs; então x = y + 5, ou seja, x − y = 5. O número de irmãs de Ana é y − 1 e o número de seus irmãos é x + 1. Logo o número de irmãos que Ana tem a mais que irmãs é (x + 1) − (y − 1) = (x − y) + 2 = 5 + 2 = 7.

O número 0 deve aparecer nos dois dados, para que seja possível formar as datas de 01 a 09, 10, 20 e 30. Os números 1 e 2 também devem aparecer nos dois dados, para formar as datas 11 e 22. Desse modo no dado da direita aparecem os números 0, 1, 2, 3, 5, 6 (que também é 9) e no dado da esquerda aparecem os números 0, 1, 2, 4, 7 e 8. A soma das faces não visíveis do dado da esquerda é então 1 + 4 + 7 + 8 = 20.

Outra solução é a seguinte. Como acima, os números 0, 1 e 2 devem aparecer nos dois dados; os números 4, 7 e 8 também devem aparecer. Assim, a soma dos números nos dois dados deve ser 2 × (0 + 1 + 2) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 39. Os números que aparecem no dado da direita são 0, 1, 2 (ocultos) e 3, 5, 6 (visíveis); os números 0 e 2 estão visíveis no cubo da esquerda. Logo a soma dos números não visíveis no cubo da esquerda é 39 − (0 + 2 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6) = 39 − 19 = 20.

Temos cinco posições distintas para colocarmos os cinco quadros também distintos. Na primeira posição temos 5 escolhas distintas possíveis. Na segunda posição temos 4 escolhas distintas, e assim por diante. Pelo princípio multiplicativo podemos formar 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 paisagens distintas. Como um mês tem, aproximadamente, 30 dias, podemos mudar a paisagem por aproximadamente 120/30 = 4 meses.

Primeiro notamos que a afirmativa de Daniela é verdadeira, pois há apenas um culpado; logo a culpada não é Daniela. Se Bruno mentiu, então ele é culpado e Eduardo diz a verdade. Mas Eduardo disse que a culpada é uma menina, logo ele também estaria mentindo, o que não satisfaz o enunciado. Então Bruno diz a verdade e, portanto, Eduardo é o culpado.

Alvino está a meio quilômetro da praia a uma velocidade de 4 quilômetros por hora. Sendo assim, ele precisa de 0,5 ÷ 4 = 0,125 horas, ou seja, 0,125 × 60 = 7,5 minutos, para alcançar a praia. Como a água entra no barco a 40 litros por minuto, até Alvino chegar à praia 40 × 7,5 = 300 litros de água terão entrado no barco. Como o barco suporta 150 litros sem afundar, Alvino terá que tirar 300 − 150 = 150 litros de água do barco em 7,5 minutos, ou seja, 150 ÷ 7,5 = 20 litros por minuto.

Seja x a largura das tiras. Na figura, vemos que as dimensões do retângulo que sobrou após o corte das tiras são 30 − 2_x_ e 50 − 2_x_; seu perímetro é 2(30 − 2_x_) + 2(50 − 2_x_) = 160 − 8_x_. Por outro lado, o enunciado nos diz que esse perímetro é 85% do perímetro da folha original, isto é, 0,85 × (2 × 30 + 2 × 50) = 0,85 × 160 = 136. Temos então a equação 160 − 8_x_ = 136, cuja solução é x = 3.

Mariana escreveu o algarismo 2:

• uma vez na fatoração de cada número par, isto é, 50 vezes;
• mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 4, isto é, outras 25 vezes;
• mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 8, isto é, outras 12 vezes;
• mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 16, isto é, outras 6 vezes;
• mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 32, isto é, outras 3 vezes;
• mais uma vez na fatoração de cada múltiplo de 64, ou seja, 1 vez;
• quando escreveu os números primos 23 e 29, ou seja, 2 vezes;
• quando escreveu 23 nas fatorações de 46, 69, 92 e quando escreveu 29 nas fatorações de 58 e 87, ou seja, 5 vezes.

No total, Mariana escreveu 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 2 + 5 = 104 vezes o algarismo 2.

O número 1656 é o resultado do produto de dois números com dois dígitos. Vamos então fatorar 1656 para verificarmos todas as possibilidades. Temos 1656 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 23; as possibilidades são então 1656 = 72 × 23, 1656 = 24 × 69, 1656 = 36 × 46 e 1656 = 92 × 18. Agora observe as contas armadas.

A única que satisfaz o enunciado, ou seja, na qual não temos uma centena como segunda parcela da soma, é a última da primeira linha. Logo a soma procurada é 92 + 18 = 110.

Quando se retiram duas bolas pretas da caixa, elas não retornam; mas quando as bolas retiradas são uma preta e outra de cor distinta, a preta retorna. Isso mostra que o número de bolas pretas na caixa diminui de dois em dois. Como o número inicial de bolas pretas é ímpar, sempre haverá um número ímpar de bolas pretas na caixa; desse modo, exatamente uma das duas bolas que sobrar na caixa é preta.

As placas que Rubens encontrou podem ser escritas, em ordem, como a0b, ba e ab, sendo a e b algarismos de 1 a 9. Esses números são, nessa ordem, 100_a_ + b, 10_b_ + a e 10_a_ + b. Como a velocidade de Rubens é constante, temos (100_a_ + b) − (10_b_ + a) = (10_b_ + a) − (10_a_ + b), ou seja, 108_a_ = 18_b_ ou, ainda, 6_a_ = b. Como a e b são inteiros de 1 a 9, a única possibilidade é a = 1 e b = 6. Logo Rubens percorreu 106 − 61 = 61 − 16 = 45 km em 45 minutos, ou seja, à velocidade de 1 km/min. Assim, sua velocidade era de 60 km/h.

Uma segunda solução é a seguinte. Como antes, as placas que Rubens encontrou foram, em ordem, 100_a_ + b, 10_b_ + a e 10_a_ + b. A distância percorrida por Rubens entre a primeira e a terceira placa foi (100_a_ + b) − (10_a_ + b) = 90_a_. Se a ≥ 2, o número da terceira placa é maior ou igual a 20 e a distância entre a segunda e terceira placa é maior ou igual a 90. Logo, o número da segunda placa deve ser maior ou igual a 20 + 90 = 110, o que não acontece pois ele é um número de dois algarismos. Logo a = 1 e Rubens percorreu 90 quilômetros em 90 minutos, ou seja, sua velocidade, em quilômetros por hora, é 90 ÷ 1,5 = 60 km/h.