OBMEP 2010 · Nível 2 (8º e 9º anos): prova com gabarito

Calcule 8% de 250:

8/100 × 250 = 2 000 ÷ 100 = 20

Outro jeito: 10% de 250 = 25 e 1% de 250 = 2,5; então 8% = 25 − 2 × 2,5 = 20.

Resposta: E (20 medalhas).

A expressão é 1 + 1/(1 − 2/3). Resolva de dentro para fora.

1. Denominador

1 − 2/3 = 3/3 − 2/3 = 1/3

2. A fração

1 ÷ (1/3) = 1 × 3 = 3

3. A soma

1 + 3 = 4

Resposta: E (4).

Dica: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso.

Vamos ler as informações contidas no gráfico:

• 5 alunos não compraram bilhetes (isto é, compraram 0 bilhetes cada um): total 5 × 0 = 0 bilhetes
• 20 alunos compraram 1 bilhete cada um: total 20 × 1 = 20 bilhetes
• 16 alunos compraram 2 bilhetes cada um: total 16 × 2 = 32 bilhetes
• 7 alunos compraram 3 bilhetes cada um: total 7 × 3 = 21 bilhetes
• 4 alunos compraram 4 bilhetes cada um: total 4 × 4 = 16 bilhetes

Logo o número total de bilhetes comprados foi 0 + 20 + 32 + 21 + 16 = 89.

Ao lado marcamos com linha mais forte o corte, tanto no cartão original quanto no cartão formado após o corte. Na figura 1, vemos que o corte mede 11 cm, pois a parte com OB é um retângulo e os lados opostos de um retângulo são iguais. Na figura 2 vemos que o lado superior da parte com MEP também mede 11 cm. Desse modo o lado menor da parte com OB mede 18 − 11 = 7 cm e sua área é 7 × 11 = 77 cm².

Como ao multiplicar qualquer número por 0 o resultado é 0, não contribuindo assim para maximizar o resultado da expressão, devemos colocar sinais de adição dos dois lados do 0:

Entre multiplicar por 1 e somar 1, o maior resultado é obtido no segundo caso, logo devemos também colocar um sinal de adição antes do 1:

Finalmente, 2 × 3 é maior que 2 + 3 e 8 × 9 é maior que 8 + 9, de modo que a expressão que fornece o maior valor é

cujo valor é 2 × 3 + 0 + 8 × 9 + 1 = 79.

Os segmentos AP, AS, BR e BQ são raios dos círculos, logo todos têm comprimento 2. Além disso, temos BS = BR − RS = 1, donde PQ = PA + AS + SB + BQ = 2 + 2 + 1 + 2 = 7 e vemos que os lados maiores do retângulo têm comprimento 7. Por outro lado, o comprimento dos lados menores do retângulo é igual ao comprimento de MN, que é um diâmetro do círculo, ou seja, tem comprimento 4. Logo o perímetro do retângulo é 7 + 7 + 4 + 4 = 22 cm.

1ª solução: Representando o número de amigos por n e o preço da pizza por p, temos p = 8_n_ + 2,50 = 9_n_ − 3,50. Logo 8_n_ + 2,50 = 9_n_ − 3,50; resolvendo para n obtemos n = 6. O preço da pizza é então 8 × 6 + 2,50 = 50,50 reais.

2ª solução: A partir de p = 8_n_ + 2,50 = 9_n_ − 3,50 temos n = (p − 2,50)/8 = (p + 3,50)/9. Igualando as expressões para p e resolvendo a equação resultante obtemos p = 50,50.

3ª solução: Quando cada amigo deu R$ 1,00 a mais, a quantia arrecadada aumentou de 2,50 + 3,50 = 6 reais. Logo há 6 amigos e o preço da pizza é 8 × 6 + 2,50 = 50,50 reais.

A figura mostra os comprimentos de alguns segmentos ao longo da sequência de dobras. Ao final, vemos que a região branca é um retângulo de lados de comprimento 4 cm e 8 cm; sua área é então 4 × 8 = 32 cm².

Vamos analisar cada uma das alternativas a partir da observação do gráfico.

A) O mês mais chuvoso foi fevereiro e o mês mais quente foi março. Logo (A) é falsa.

B) O mês menos chuvoso foi agosto e o mês mais foi frio setembro. Logo (B) é falsa.

C) De outubro para novembro a precipitação aumentou e a temperatura caiu. Logo (C) é falsa.

D) Os dois meses mais quentes foram janeiro e março e as maiores precipitações ocorreram em fevereiro e março. Logo (D) é falsa.

E) Os dois meses mais frios e de menor precipitação foram agosto e setembro. Logo (E) é verdadeira.

Sabemos que:

• a soma dos números de Fátima e Bernardo é 16;
• a soma dos números de Bernardo e Daniela é 12.
• a soma dos números de Fátima e Daniela é 8;

Assim 16 + 8 + 12 = 36 é duas vezes a soma dos números de Fátima, Bernardo e Eduardo; logo a soma dos números dessas três crianças é 18. Como a soma dos números de Bernardo e Daniela é 12, o número favorito de Fátima é 18 − 12 = 6.

Para fazer 600 litros de tinta lilás são necessários (600/8) × 5 = 375 litros de tinta branca e (600/8) × 3 = 225 litros de tinta roxa. A fábrica produz 1 litro de tinta branca por minuto e 0,5 litro de tinta roxa por minuto; ou seja, produz 1 litro de tinta roxa a cada 2 minutos. Logo ela vai levar 375 minutos para produzir os 375 litros de tinta branca e 2 × 225 = 450 minutos para produzir os 225 litros de tinta roxa. Assim, a fábrica estará pronta para produzir 600 litros de tinta lilás após 450 minutos, ou seja, em 7 horas e 30 minutos.

Vejamos primeiro os possíveis valores para B e P. Para isto, vamos analisar os possíveis valores de B e o resultado de sua multiplicação por 6.

B = 2: nesse caso P também seria 2, o que é impossível pois não há algarismos repetidos. Observamos que esse argumento também elimina a possibilidade B = 4.

B = 3: esse caso não pode acontecer pois 3 × 6 = 18 e P não pode ser 8.

B = 5: esse caso não pode acontecer pois 5 × 6 = 30 e P não pode ser 0.

B = 6: esse caso não pode acontecer pois não há algarismos repetidos.

Concluímos então que B = 7; como 7 × 6 = 42, segue que P = 2 e que “vai 4” para a coluna das dezenas. Notamos agora que E é o algarismo das unidades de 4 + O × 6, que é um número par. Logo E é par, e como os algarismos 2 e 6 já apareceram, resta a possibilidade E = 4. Finalmente, como 3 × 6 + 4 = 22 e 5 × 6 + 4 = 34, vemos a única possibilidade para O é O = 5. Temos também M = 3 e a multiplicação é 57 × 6 = 342.

O quadrado está dividido em quatro quadrados menores iguais. Cada um dos triângulos brancos tem um lado que é um lado de um quadrado menor e sua altura, relativa a este lado, é a metade do lado do quadrado menor; logo sua área é (1 × (1/2))/2 = 1/4 da área de um quadrado menor. Como são quatro desses triângulos, vemos que a área da parte branca é igual à área de 4 × (1/4) = 1 quadrado menor. Como área de um desses quadrados é 1/4 da área do quadrado maior, segue que a área preta é igual a 1 − 1/4 = 3/4 da área do quadrado maior.

Os dias de um mês estão distribuídos da seguinte forma entre os dias da semana:

Como o nosso mês tem cinco segundas e cinco quartas (logo nosso mês não pode ter menos de 31 dias), a primeira segunda e a primeira quarta caíram nos dias 1, 2 ou 3. Como segunda e quarta não são dias da semana consecutivos, a única possibilidade é que a primeira segunda tenha caído no dia 1 e a primeira quarta no dia 3. Logo o dia 5 foi uma sexta e a tabela nos mostra que o dia 26 também foi uma sexta.

Na figura a seguir, admitimos que a estrada de 350 km começa à esquerda e termina à direita; também não faz diferença supor que Quixajuba esteja à esquerda de Paraqui.

Vamos explicar como foi feita a figura. Notamos que Quixajuba não pode estar à esquerda do quilômetro 70, pois nesse caso ela estaria antes do início da estrada. Logo ela está à direita do quilômetro 70 e fica no quilômetro 70 + 92 = 162 da estrada. Do mesmo modo vemos que Paraqui está à esquerda do quilômetro 270 e fica no quilômetro 290 − 87 = 203. Portanto, a distância entre as duas cidades é 203 − 162 = 41 quilômetros.

1ª solução: Como Jeca e Tatu comeram juntos 33 bananas, concluímos que Saci e Pacu comeram juntos 52 − 33 = 19 bananas. Como Saci foi quem mais comeu e Pacu comeu pelo menos 1 banana, Saci comeu no máximo 19 − 1 = 18 bananas. Portanto, Jeca comeu no máximo 17 bananas e, como Jeca comeu mais que Tatu, concluímos que Tatu comeu no máximo 16 bananas. Como 33 = 17 + 16, não é possível que Jeca tenha comido menos que 17 ou Tatu menos que 16 bananas. Vemos assim que Jeca comeu 17 bananas e Tatu comeu 16 bananas; além disso, Saci comeu 18 bananas e sobrou apenas 1 banana para o Pacu.

2ª solução: Vamos denotar por s, j, t e p o número de bananas comidas por Saci, Jeca, Tatu e Pacu, respectivamente. Os dados do problema podem ser escritos como

1. s + j + t + p = 52 (juntos eles comeram 52 bananas)

2. s,j,t,p ≥ 1 (ninguém ficou sem comer)

3. s > j,t,p (Saci comeu mais que todos os outros)

4. j + t = 33 (Jeca e Tatu comeram, juntos, 33 bananas)

5. j > t (Jeca comeu mais que Tatu)

De (1) e (4) segue que s + p = 52 − (j + t) = 52 − 33 = 19. Como p ≥ 1 temos s ≤ 18 e de (3) segue que j < 18. Por outro lado, de (4) e (5) segue que 2_j_ = j + j > j + t = 33; logo j > 33/2 = 16,5 e segue que j ≥ 17. Temos então 17 ≤ j < 18; logo j = 17 e t = 16, ou seja, Tatu comeu 16 bananas.

Vamos escolher um ponto entre os pontos destacados; por exemplo, o primeiro ponto à esquerda no lado inferior do quadrado. A figura mostra os três triângulos retângulos que podemos construir com o vértice com o ângulo reto nesse ponto. Como o mesmo acontece com os outros pontos destacados, vemos que o número de triângulos retângulos com vértices nesses pontos é 8 × 3 = 24.

Devemos justificar a afirmativa de que esses triângulos são retângulos. Isso é claro para o triângulo da figura 1. Quanto ao da figura 2, notamos que os dois triângulos retângulos brancos são congruentes, logo seus ângulos com vértice no ponto escolhido somam 90° e, consequentemente, o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também 90°. Finalmente, o triângulo da figura 3 é retângulo pois seus lados menores são diagonais de quadrados, como indicado pelos segmentos mais claros; assim eles fazem ângulo de 45° com o lado inferior do quadrado e o ângulo do triângulo cinza nesse vértice é também 90°.

Temos duas possibilidades para Adriano: ele é um tamanduá ou uma preguiça. Vamos primeiro supor que ele é um tamanduá e fazer a tabela a seguir, linha por linha, de acordo com as falas dos amigos:

As casas sombreadas mostram que nesse caso Adriano, além de ser um tamanduá, é também uma preguiça, o que não pode acontecer pelas regras da brincadeira. Logo Adriano não é um tamanduá, ou seja, ele é uma preguiça. Fazemos agora outra tabela do mesmo modo que a anterior:

e vemos que Bruno, Carlos e Daniel são tamanduás.

O número central pode ser qualquer dos pares de 2 a 18. Se o número central é 2, há um único ímpar de 1 a 19 menor que ele e 9 ímpares maiores que ele; logo há 1 × 9 = 9 triplas nesse caso. Se o número central é 4, há 2 ímpares menores e 8 ímpares maiores que ele; nesse caso temos 2 × 8 = 16 triplas. Continuando esse processo, vemos que o número total de triplas é

1 × 9 + 2 × 8 + 3 × 7 + 4 × 6 + 5 × 5 + 6 × 4 + 7 × 3 + 8 × 2 + 9 × 1 = 165.

Sejam n um número enquadrado entre 10 e 100, a seu algarismo das dezenas e b seu algarismo das unidades; notamos que 1 ≤ a ≤ 9 e 0 ≤ b ≤ 9. Então n = 10_a_ + b e o número obtido invertendo-se os algarismos de n é 10_b_ + a. Como n é enquadrado temos que (10_a_ + b) + (10_b_ + a) = 11_a_ + 11_b_ = 11(a + b) é um quadrado perfeito.

Notamos primeiro que se b = 0 não é possível que 11(a + b) seja um quadrado perfeito, pois 11_a_ nunca é um quadrado perfeito para a assumindo os valores de 1 a 9. Logo temos b ≠ 0 (podemos também chegar a essa conclusão verificando diretamente que 10, 20, 30,..., 90 não são enquadrados). Com isso, vemos que 2 ≤ a + b ≤ 18; dentre esses possíveis valores para a + b, o único que faz de 11(a + b) um quadrado perfeito é 11. Logo a + b = 11 e as possibilidades para n são então 29 e 92, 38 e 83, 47 e 74 e 56 e 65, num total de 8.