OBMEP 2008 · Nível 2 (8º e 9º anos): prova com gabarito

Como Mário correu 8 = 1 × 6 + 2 km em sentido horário e a pista tem 6 km, então ele deu 1 volta completa e ficou a 2 km do ponto de partida no sentido horário. Do mesmo modo, João correu 15 = 2 × 6 + 3 km, ou seja, ele deu 2 voltas completas e ficou a 3 km do ponto de partida em sentido anti-horário, que equivale também a 3 km do ponto de partida em sentido horário. Como Mário e João ficaram respectivamente a 2 e 3 km do ponto de partida em sentido horário então a distância entre eles é 1 km.

Vamos listar todas as possibilidades:

• (20 ÷ 2 + 3) × 6 = (10 + 3) × 6 = 13 × 6 = 78
• (20 ÷ 2) + 3 × 6 = 10 + 18 = 28
• 20 ÷ (2 + 3) × 6 = 20 ÷ 5 × 6 = 4 × 6 = 24
• 20 ÷ 2 + (3 × 6) = 10 + 18 = 28
• 20 ÷ (2 + 3 × 6) = 20 ÷ (2 + 18) = 20 ÷ 20 = 1

Devemos também considerar a possibilidade de colocar parênteses em volta de um único número, como por exemplo 20 ÷ 2 + (3) × 6. Qualquer que seja o número escolhido, o resultado será sempre o mesmo, a saber, 20 ÷ 2 + 3 × 6 = 10 + 18 = 28.

Finalmente, notamos que em 20 ÷ 5 × 6 há o problema de decidir qual das duas operações deve ser feita em primeiro lugar. Em casos assim, a convenção habitual é efetuar as operações (÷ e ×) na ordem em que aparecem da esquerda para a direita, e foi o que fizemos acima.

Como já foram colocados 1500 baldes na caixa, faltam 500 baldes para enchê-la. O enunciado diz que 2000 baldes equivalem a 2400 latas, donde 2000/4 = 500 baldes equivalem a 2400/4 = 600 latas. Logo faltam 600 latas para encher a caixa.

Na figura dada a parte cinza obtida depois da primeira dobradura pode ser dividida em duas partes: um quadrado de lado 12 cm e um triângulo de área igual a metade da área do quadrado. A área do quadrado é 12 × 12 = 144 cm², logo a área do triângulo é (1/2) × 144 = 72 cm². Assim, a área dessa parte cinza é 144 + 72 = 216 cm². Depois da segunda dobradura, obtemos duas partes cinzas iguais, cuja área total é 2 × 216 = 432 cm².

Outra solução: note que a área do polígono formado pelo papel dobrado é igual à área original da tira menos as áreas das partes que se sobrepõem. Após a primeira dobra, a parte sobreposta é representada pelo triângulo mais escuro, e depois da segunda dobra forma-se outra parte sobreposta igual à primeira. Juntas essas partes têm área igual à de um quadrado de lado 12 cm. Consequentemente, a área do polígono é 12 × 48 − 12 × 12 = 576 − 144 = 432 cm².

Outra solução: observamos que a área do polígono formado pela cartolina dobrada é igual à área em cinza na figura ao lado (dois quadrados e dois triângulos) que representa 6/8 da área da tira retangular. Logo, a área pedida é:

6/8 de 12 × 48 = (6/8) × 12 × 48 = 6 × 12 × 6 = 432 cm².

Carlos começou a trabalhar com 41 − 15 = 26 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 26 + y, e portanto 26 + y + y = 100. Segue que y = (100 − 26)/2 = 37. Logo ele poderá se aposentar com 26 + 37 = 63 anos.

Outra solução: Atualmente a idade do Carlos mais os anos que ele já trabalhou somam 41 + 15 = 56. Cada ano a mais que o Carlos trabalhar acrescentará 2 a este total. Como 100 − 56 = 44, ele deve trabalhar mais 44/2 = 22 anos para atingir a soma 100. Ao final deste período ele terá então 41 + 22 = 63 anos de idade. Equivalentemente, se Carlos trabalhar mais x anos, a soma de sua idade ao se aposentar com os anos trabalhados será de (41 + x) + (15 + x) = 56 + 2_x_. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2_x_ = 100, donde 2_x_ = 44 e então x = 22, como antes.

Seja n o número de alunos da turma. A idéia da professora era dividir as 96 balas igualmente pelos n alunos sem que sobrassem balas, logo n é um divisor de 96. Quando a Emília faltou, a professora distribuiu 96 − 5 = 91 balas entre os outros n − 1 alunos; o mesmo raciocínio mostra então que n − 1 é um divisor de 91. Notamos que como sobraram 5 balas, a turma tinha pelo menos 5 alunos. A lista de divisores de 96 é 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 e 96; já a de divisores de 91 é 1, 7, 13 e 91, logo n está na primeira lista e n − 1 na segunda. O único número da segunda lista que é 1 a menos que um número da primeira e ao mesmo tempo maior ou igual a 5 é o 7. Concluímos então que n = 8.

O percentual dos entrevistados que não vão ao trabalho a pé é 100% − 25% = 75%. Como 22,5/75 = 0,3 segue que o percentual dos que vão ao trabalho de carro entre aqueles que não vão a pé é 30%.

Outra maneira de resolver o problema é escolher um número qualquer e supor que este foi o número de pessoas entrevistadas. Não há perda de generalidade aqui, pois os dados do problema são porcentagens, donde o número real de pessoas entrevistadas é irrelevante. É conveniente então escolher um número que faça os cálculos simples, e no nosso caso escolhemos 200. Com esta suposição, vemos que 150 pessoas não vão a pé ao trabalho e destas 45 vão de carro. Como 45/150 = 0,3 chegamos (é claro) à mesma resposta anterior.

Podemos ainda pensar de outra maneira, formando “blocos” com 2,5% dos entrevistados. Neste caso, 100% corresponde a 40 blocos, dos quais 30 não vão ao trabalho a pé e destes 9 vão de carro. Obtemos aqui 9/30 = 0,3, como antes.

Vamos contar os números da lista do Daniel como segue:

Lista 1: números divisíveis por 7: 7, 14, 21, ..., 98, num total de 14.

Lista 2: números que têm 7 como algarismo das unidades: 7, 17, 27, ..., 97, num total de 10.

Lista 3: números que têm 7 como algarismo das dezenas: 70, 71, ..., 79 num total de 10.

Com esta contagem, parece que a resposta correta é 14 + 10 + 10 = 34, mas devemos levar em conta a duplicação, isto é, o fato de que alguns números apareceram em mais de uma das listas acima. O número 7 aparece nas listas 1 e 2; o número 70 aparece nas listas 1 e 3 e o número 77 aparece nas listas 1, 2 e 3. Isto mostra que temos 4 repetições, donde a resposta correta é 34 − 4 = 30.

Os resultados depois de cada etapa da brincadeira estão na tabela a seguir.

Logo a resposta correta é 4. Notamos que essa “brincadeira” nada mais é que o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum de dois números; no caso, a tabela pode ser interpretada como a seqüência de divisões

100 = 1 × 88 + 12

88 = 7 × 12 + 4

12 = 3 × 4 + 0

que nos mostra que o máximo divisor comum de 100 e 88 é 4.

Uma maneira de preencher a tabela de acordo com as condições do enunciado é dada abaixo. Em cada etapa, indicamos com a cor cinza as novas casas preenchidas; o leitor pode justificar cada um dos passos ilustrados. Notamos que a tabela final é única, independente do modo com que ela é preenchida.

Voltando à questão, vemos que a soma dos números nos quadradinhos cinzas marcados no desenho do enunciado é 6 + 8 + 5 + 1 = 20.

Para ir de A até B a formiguinha deve escolher um dos cinco segmentos verticais em traço mais grosso na primeira linha da figura. Uma vez escolhido esse segmento, há um único caminho de A até R que passa por ele. Desse modo, a formiguinha pode ir de A até R de cinco maneiras diferentes. Analogamente, ela pode seguir de R até B de cinco maneiras diferentes. Logo o número de maneiras que ela tem para ir de A até B é 5 × 5 = 25.

Podemos também usar as letras b e d para dizer se a formiguinha percorre um segmento para baixo ou para direita, respectivamente. Um caminho de A até R é então uma seqüência de um b e quatro d’s, de modo que há cinco desses caminhos, a saber bdddd, dbddd, ddbdd, dddbd e ddddb. Analogamente há cinco caminhos de R até B, e a resposta segue como acima.

Como cada funcionário trabalha 5 dias por semana, o número de funcionários multiplicado por 5 é igual ao número total de jornadas de trabalho de segunda a sábado. Logo o número de funcionários da empresa é

(250 + 267 + 245 + 263 + 256 + 249)/5 = 1530/5 = 306.

Como 535 = 11 × 46 + 29, vemos que 11 ônibus são insuficientes para o passeio. Por outro lado, de 13 × 46 = 598 vemos que se o número de ônibus fosse maior ou igual a 13 o número de professores seria no mínimo 598 − 535 = 63, o que não é possível pois em cada ônibus há no máximo 2 professores. Logo o passeio foi feito com 12 ônibus e o número de professores é 12 × 46 − 535 = 17. Como cada ônibus tem 1 ou 2 professores e 17 dividido por 12 tem quociente 1 e resto 5, concluímos que o número de ônibus com 2 professores é 5.

Outra solução: Sejam x o número de ônibus com 1 professor (nesses ônibus há 45 alunos) e y o número de ônibus com 2 professores (nesses ônibus há 44 alunos). Logo, 45_x_ + 44_y_ = 535. Para resolver essa equação, observe que como x e y são inteiros positivos, y tem que ser um múltiplo de 5 menor que 15 (porque 15 × 44 > 535), isto é, y vale 5 ou 10. Substituindo esses valores na equação, obtemos y = 5.

Sejam p o preço do quilo de queijo prato e m o preço do quilo de queijo de Minas; o enunciado diz que p = 1,1_m_.

Com uma quantia qualquer x pode-se comprar x/p quilos de prato e x/m quilos de Minas. O enunciado diz que com uma determinada quantia q podemos comprar 37 gramas a mais de queijo Minas do que de queijo prato, ou seja,

q/m = q/p + 0,037.

Substituindo a expressão de p em função de m, obtemos

q/m = q/(1,1_m_) + 0,037.

Logo

donde

(q/m) · (0,1/1,1) = 0,037.

Segue que

q/m = (1,1/0,1) · 0,037 = 0,407,

donde podemos comprar 407 gramas de queijo de Minas com essa quantia.

Outra solução: O valor de x gramas de queijo prato é o valor de x gramas de queijo minas e mais 0,1 x gramas de queijo minas. Assim a quantidade x de queijo prato que vale 37 gramas a mais de queijo minas é tal que 0,1 x = 37 ou seja x = 370 gramas. Essa quantidade de queijo prato tem, portanto, o valor de 370 + 37 = 407 gramas de queijo minas.

Sejam x e y as medidas (em centímetros) de PA e PD, respectivamente. Vemos então que x + y = 30 e que o lado do quadrado central da folha dobrada é x − y. Como a área desse quadrado é 144 cm², segue que seu lado mede 12 cm, ou seja, x − y = 12. Dessas duas equações segue que x = 21.

Se Estefânia embaralhar as cartas 6 vezes elas voltarão à posição inicial. Como 74 = 12 × 6 + 2, embaralhar as cartas 74 vezes tem o mesmo efeito que fazê-lo duas vezes, o que deixa a carta E no topo da pilha.

Lembramos primeiro que em um triângulo um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. Logo

AĈB = CÂD + CD̂A = 2 · CD̂A = 96°

onde notamos que CÂD = CD̂A pois o triângulo CAD é isósceles. Do mesmo modo obtemos

CB̂A = 2 · DÊA

e

BÂC = 2 · FÊA.

Somando essas três igualdades e lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, obtemos

180° = 96° + 2 · (DÊA + FÊA) = 2 · DÊF

donde DÊF = 42°.

Cada uma das três pessoas, em princípio, pode beber água ou suco, logo há 2 × 2 × 2 = 8 possibilidades para considerar, conforme a tabela.

Devemos agora analisar as condições do problema para decidir qual das possibilidades é a correta. A primeira condição (se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água) elimina as possibilidades 3 e 8. A segunda condição (se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco) elimina a possibilidade 2. A terceira condição (se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água) elimina as possibilidades 4 e 6. Até o momento, restam as possibilidades 1, 5 e 7.

e como apenas um deles pede sempre a mesma bebida, chegamos a Ari, que sempre pede água.

Como 2/5 do número de alunos baianos é um número inteiro e 2/5 é uma fração irredutível, concluímos que o número de baianos é múltiplo de 5. Do mesmo modo concluímos que o número de mineiros é múltiplo de 7. Os múltiplos de 5 menores do que 31 são 5, 10, 15, 20, 25 e 30 e os múltiplos de 7 menores que 31 são 7, 14, 21, 28 (não incluímos o 0 entre os múltiplos pois o enunciado diz que há tanto baianos como mineiros no ônibus). Como 31 é a soma do número de baianos com o número de mineiros, a única possibilidade é que o ônibus tenha 10 baianos e 21 mineiros. Como 2/5 do número de alunos baianos é de homens, segue que 1 − 2/5 = 3/5 é de mulheres. Logo o total de mulheres no ônibus é

(3/5) × 10 + (3/7) × 21 = 6 + 9 = 15

Observação: É importante notar que a irredutibilidade das frações 2/5 e 3/7 é essencial no argumento acima. Sabemos, por exemplo, que 3/7 = 6/14 e que (6/14) × 21 = 9 mas 14 não é um divisor de 21.

Vamos denotar as peças, da esquerda para a direita e de cima para baixo, de H, U, Z e R. A peça H só pode ser colocada de duas maneiras diferentes em um quadrado, a peça U de quatro maneiras diferentes, a peça Z de duas maneiras diferentes e a peça R de quatro maneiras diferentes. Uma vez fixada a posição em que as peças vão entrar nos quadrados, elas podem ser distribuídas de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneiras diferentes. Logo o número de maneiras diferentes de colocar as peças nos quadrados é 2 × 4 × 2 × 4 × 24 = 1536.