OBMEP 2008 · Nível 1 (6º e 7º anos): prova com gabarito

Como Leonardo da Vinci nasceu 391 anos antes de Pedro Américo, ele nasceu no ano 1843 − 391 = 1452. Por outro lado, Portinari nasceu 451 anos depois de Leonardo da Vinci, ou seja, ele nasceu no ano 1452 + 451 = 1903.

Outra solução: Leonardo da Vinci nasceu 391 anos antes de Pedro Américo e 451 antes de Portinari, logo Portinari nasceu 451 − 391 = 60 anos depois de Pedro Américo. Portanto, Portinari nasceu no ano 1843 + 60 = 1903.

Todas as figuras são formadas por 16 partes iguais e 5/8 = 10/16. Logo, a única figura que serve é a que tem 10 partes de cor cinza.

A figura mostra que quando dividimos 25 pelo divisor, o quociente é 3 e o resto é 1. Logo o divisor é 8, que é um dos algarismos manchados. Como 25 ÷ 8 = 3,125 segue que o outro algarismo manchado foi o 5, que é o menor dos algarismos manchados.

Vamos listar todas as possibilidades:

• (20 ÷ 2 + 3)×6 = (10 + 3)×6 = 13×6 = 78
• (20 ÷ 2) + 3×6 = 10 + 18 = 28
• 20 ÷ (2 + 3)×6 = 20 ÷ 5×6 = 4×6 = 24
• 20 ÷ 2 + (3×6) = 10 + 18 = 28
• 20 ÷ (2 + 3×6) = 20 ÷ (2 + 18) = 20 ÷ 20 = 1

Devemos também considerar a possibilidade de colocar parênteses em volta de um único número, como por exemplo 20 ÷ 2 + (3)×6. Qualquer que seja o número escolhido, o resultado será sempre o mesmo, a saber, 20 ÷ 2 + 3×6 = 10 + 18 = 28.

Finalmente, notamos que em 20 ÷ 5×6 há o problema de decidir qual das duas operações deve ser feita em primeiro lugar. Em casos assim, a convenção habitual é efetuar as operações (÷ e ×) na ordem em que aparecem da esquerda para a direita, que foi o que fizemos acima.

O número total de bonequinhos é 5 + 3 + 8 + 4 = 20. Vamos agora analisar as alternativas uma a uma.

(A) O número de pessoas que vai ao trabalho a pé corresponde a 8 bonequinhos, menos da metade de 20. Logo essa alternativa é falsa.

(B) O número de pessoas que vai ao trabalho de bicicleta corresponde a apenas 4 bonequinhos, que é inferior aos que optam pelo ônibus ou ir a pé. Logo essa alternativa é falsa.

(C) O número de pessoas que vai ao trabalho de ônibus corresponde a 5 bonequinhos. Como 5/20 = 0,25, isto corresponde a apenas 25% dos entrevistados. Logo essa alternativa é falsa.

(D) O número de pessoas que vai ao trabalho de carro ou de ônibus corresponde a 3 + 5 = 8 bonequinhos, que é menos do que a metade do total. Logo, essa alternativa é falsa.

(E) O número de pessoas que vai ao trabalho de carro corresponde a 3 bonequinhos. Como 3/20 = 0,15, isto corresponde a 15% dos entrevistados. Logo essa alternativa é a verdadeira.

Ao montar o cubo, o quadrado superior e o quadrado inferior ficam em faces opostas, o que nos deixa apenas as alternativas (A) e (E) para considerar. Observando que dos quatro quadrados em linha o primeiro e o terceiro a contar da esquerda (ou da direita) também ficarão em faces opostas, ficamos somente com a alternativa (E).

Outra solução: Dentre as 4 faces alinhadas, as que serão faces opostas no cubo são as que aparecem intercaladas, ou seja a 1ª e 3ª, e a 2ª e 4ª. Apenas na opção (E) a soma dos pontos nesses pares de faces é 7 (note que se a soma dos pontos em dois pares de faces opostas é 7 então a soma dos pontos no par restante também é 7).

A figura ilustra o seguinte fato: o número de retângulos que podem ser construídos com 12 quadradinhos corresponde ao número de maneiras de escrever 12 como produto de dois números naturais, que são três: 1×12, 2×6 e 3×4. Como podemos escrever 60 como produto de dois números de exatamente seis formas distintas, a saber, 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12 e 6×10, segue que podemos construir 6 retângulos diferentes com 60 quadradinhos cada um.

Como a área de um quadrado de lado a é a² e o quadrado tem área 36 cm², segue que seu lado mede 6 cm. Temos que

3/8 área → 36 cm²

1/8 área → 36 ÷ 3 = 12 cm²

8/8 área → 12×8 = 96 cm²

Logo, o retângulo tem 96 cm² de área e sua largura AD mede 6 cm, portanto 6×CD = 96 e segue que CD = 96 ÷ 6 = 16 cm. Logo o perímetro do retângulo é 2×(6 + 16) = 44 cm.

Outra solução: Como a área de um quadrado de lado a é a² e o quadrado tem área 36 cm², segue que seu lado mede 6 cm, que deve ser igual a 3/8 do lado AB. Logo AB mede (8/3)×6 = 16 cm. Segue que as dimensões do retângulo são 16 cm e 6 cm, e seu perímetro é 2×(6 + 16) = 44 cm.

O enunciado diz que

9 copos pequenos + 4 copos grandes = 6 copos pequenos + 6 copos grandes

Isso significa que

3 copos pequenos = 2 copos grandes,

que equivale a

6 copos pequenos = 4 copos grandes.

Segue que

1 jarra cheia = 6 copos pequenos + 6 copos grandes =

= 4 copos grandes + 6 copos grandes =

= 10 copos grandes

A tabela abaixo representa todas as possibilidades para que o número de cabeças seja 5 (lembramos que banquinhos não têm cabeça e há pelo menos uma pessoa e uma vaca).

A última coluna representa as possibilidades para o número de pés de banquinhos que há no curral. Como cada banquinho tem 3 pés, o número total de pés de banquinhos deve ser um múltiplo de 3. O único múltiplo de 3 que aparece na última coluna é 6, correspondente a 2 banquinhos. Logo no curral havia 3 vacas, 2 pessoas e 2 banquinhos.

Na figura dada a parte cinza obtida depois da primeira dobradura pode ser dividida em duas partes: um quadrado de lado 12 cm e um triângulo de área igual a metade da área do quadrado. A área do quadrado é 12×12 = 144 cm², logo a área do triângulo é (1/2)×144 = 72 cm². Assim, a área dessa parte cinza é 144 + 72 = 216 cm². Depois da segunda dobradura, obtemos duas partes cinzas iguais, cuja área total é 2×216 = 432 cm².

Outra solução: note que a área do polígono formado pelo papel dobrado é igual à área original da tira menos as áreas das partes que se sobrepõem. Após a primeira dobra, a parte sobreposta é representada pelo triângulo mais escuro, e depois da segunda dobra forma-se outra parte sobreposta igual à primeira. Juntas essas partes têm área igual à de um quadrado de lado 12 cm. Conseqüentemente, a área do polígono é igual a 12×48 − 12×12 = 576 − 144 = 432 cm².

Outra solução: observamos que a área do polígono formado pela cartolina dobrada é igual à área em cinza na figura ao lado (dois quadrados e dois triângulos) que representa 6/8 da área da tira retangular. Logo, a área pedida é:

6/8 de 12×48 = (6/8)×12×48 = 6×12×6 = 432 cm².

Mostramos a seguir como formar retângulos com duas cópias de cada uma das peças das alternativas (A), (B), (C) e (E).

O único caso em que isso não é possível é o da alternativa (D), conforme indicado a seguir:

Hoje Dona Dulce comprou o dobro do que comprou ontem, logo ela deveria pagar 2×12 = 24 reais. Como ela pagou apenas 20 reais, a promoção fez com que ela economizasse 24 − 10 = 4 reais na compra de 8 caixas de leite. Logo o desconto em cada caixa de leite foi de 4 ÷ 8 = 0,50 reais, ou seja, de R$ 0,50.

As letras V e Z têm a mesma área porque são formadas com as mesmas peças de cartolina, logo podemos eliminar as opções (B) e (C). Para comparar os perímetros, notamos primeiro que em ambas as figuras o segmento AB é maior que o segmento CD. Ao juntar as peças para formar a letra Z, as peças branca e cinza se juntam ao longo de AB, e assim

perímetro do Z = perímetro da peça branca + perímetro da peça cinza − 2×(comprimento de AB).

Do mesmo modo, vemos que

perímetro do V = perímetro da peça branca + perímetro da peça cinza − 2×(comprimento de CD),

donde concluímos que o perímetro do Z é menor que o perímetro do V.

Num tabuleiro quadrado n×n, cada diagonal corta n quadradinhos. Por causa da simetria dos tabuleiros quadrados, temos dois casos:

(i) se n é par (por exemplo, no tabuleiro 4×4) as duas diagonais se cortam num vértice (o vértice central). Nesse caso as duas diagonais cortam exatamente n + n = 2_n_ quadradinhos.

(ii) se n é ímpar (por exemplo, no tabuleiro 5×5) as duas diagonais se cortam no centro de um quadradinho (o quadradinho central). Nesse caso o quadradinho central é contado duas vezes, uma por cada diagonal. Logo, as duas diagonais cortam no total n + n − 1 = 2_n_ − 1 quadradinhos.

Se o número de quadradinhos cortados pelas diagonais em um tabuleiro n×n é 77, temos duas possibilidades. A primeira é n par, mas aqui teríamos 77 = 2_n_, o que não pode acontecer pois 77 é ímpar. Resta então a possibilidade n ímpar, quando temos 77 = 2_n_ − 1. Logo n = 39 e o nosso tabuleiro é 39×39.

Uma maneira de preencher a tabela de acordo com as condições do enunciado é dada abaixo. Em cada etapa, indicamos com cor cinza as novas casas preenchidas; o leitor pode justificar cada um dos passos ilustrados. Notamos que a tabela final é única, independente do modo com que ela é preenchida.

Voltando à questão, vemos que a soma dos números nos quadradinhos cinzas marcados no desenho do enunciado é 6 + 8 + 5 + 1 = 20.

Cada uma das meninas comeu 6 bombons. Como Cecília pagou R$1,80 pelos seus, cada bombom custou (R$1,80) ÷ 6 = R$0,30. Beatriz comprou dez bombons e comeu seis, logo ela deu quatro para Cecília e por isso deve receber 4×R$0,30 = R$1,20.

Para cada uma das camisas pretas e azul é possível escolher três camisas de cor diferente, num total de 3×3 = 9 possibilidades; notamos que estar com uma camisa preta de mangas curtas é diferente de estar com uma de mangas compridas. Para as camisas cinza e branca podemos escolher qualquer calça, num total de 2×4 = 8 possibilidades. Ao final, temos 9 + 8 = 17 possibilidades.

Uma outra maneira de resolver a questão é a seguinte: são 5 as possibilidades de escolha de camisas e quatro a de calças, logo, sem levar em conta as cores, há 5×4 = 20 modos de se vestir. Destes, devemos descontar os casos em que se repetem as cores de calça e camisa, que são apenas três: camisa preta de mangas compridas com calça preta, camisa preta de mangas curtas com calça preta camisa azul com calça azul. Logo, são 20 − 3 = 17 maneiras diferentes de se vestir com uma camisa e uma calça de cores distintas.

Cada uma das três pessoas, em princípio, pode beber água ou suco, logo há 2×2×2 = 8 possibilidades para considerar, conforme a tabela.

Devemos agora analisar as condições do problema para decidir qual das possibilidades é a correta. A primeira condição (se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água) elimina as possibilidades 3 e 8. A segunda condição (se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco) elimina a possibilidade 2. A terceira condição (se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água) elimina as possibilidades 4 e 6. Até o momento, restam as possibilidades 1, 5 e 7.

e como apenas um deles pede sempre a mesma bebida, chegamos a Ari, que sempre pede água.

Como 2/5 do número de alunos baianos é um número inteiro e 2/5 é uma fração irredutível, concluímos que o número de baianos é múltiplo de 5. Do mesmo modo concluímos que o número de mineiros é múltiplo de 7. Os múltiplos de 5 menores do que 31 são 5, 10, 15, 20, 25 e 30 e os múltiplos de 7 menores que 31 são 7, 14, 21, 28 (não incluímos o 0 entre os múltiplos pois o enunciado diz que há tanto baianos como mineiros no ônibus). Como 31 é a soma do número de baianos com o número de mineiros, a única possibilidade é que o ônibus tenha 10 baianos e 21 mineiros. Como 2/5 do número de alunos baianos é de homens, segue que 1 − 2/5 = 3/5 é de mulheres. Logo o total de mulheres no ônibus é

(3/5)×10 + (3/7)×21 = 6 + 9 = 15

Observação: É importante notar que a irredutibilidade das frações 2/5 e 3/7 é essencial no argumento acima. Sabemos, por exemplo, que 3/7 = 6/14 e que (6/14)×21 = 9 mas 14 não é divisor de 21.