OBMEP 2007 · Nível 3 (ensino médio): prova com gabarito

Cinco voltas na praça correspondem a 5 × 4 = 20 lados do quadrado. Sueli caiu quando faltavam 2/7 para completar esse percurso, ou seja, depois de percorrer 1 − 2/7 = 5/7 do trajeto total. Isto equivale a (5/7) × 20 = 100/7 = 98/7 + 2/7 = 14 + 2/7 lados do quadrado. Como 14 = 3 × 4 + 2, ela deu 3 voltas completas na praça e andou mais 2 lados, o que a levou ao ponto C. Depois disso ela ainda andou 2/7 de um lado; como 2/7 é menor que 1, ela não chegou ao próximo vértice do quadrado. Logo ela caiu no ponto D.

Vamos usar o símbolo ≈ para indicar “aproximadamente igual a”; ou seja, x ≈ y quer dizer que x é aproximadamente igual a y. Por exemplo, 0,899 ≈ 0,9 e 0,101 ≈ 0,1. Em geral, se em uma operação aritmética trocamos os números envolvidos por outros aproximadamente iguais a eles, o resultado da operação deve ser uma aproximação do que teríamos obtido com os números originais. No nosso caso, temos

(0,899² − 0,101²) × 0,5 ≈ (0,9² − 0,1²) × 0,5 = (0,81 − 0,01) × 0,5 = 0,8 × 0,5 = 0,4.

Outra maneira de resolver esta questão é usar a identidade a² − b² = (a − b)(a + b) para escrever

(0,899² − 0,101²) × 0,5 = (0,899 + 0,101)(0,899 − 0,101) × 0,5

≈ (0,9 + 0,1) × (0,9 − 0,1) × 0,5 = 1 × 0,8 × 0,5 = 0,4

Como x = y = 2_z_ temos xyz = (2_z_)(2_z_)z = 4_z_³, donde 4_z_³ = 864. Logo z³ = 864/4 = 216, e segue que z = ∛216 = 6. Obtemos então

x + y + z = 2_z_ + 2_z_ + z = 5_z_ = 5 × 6 = 30.

Como o hexágono é regular, suas diagonais são iguais. Logo o triângulo ACE da figura I é equilátero, e segue que ∠CAE = 60°. Além disso, como AD é um dos eixos de simetria do hexágono, o triângulo APQ é isósceles; como ele já tem um ângulo de 60° segue que ele é equilátero.

O mesmo raciocínio mostra que o triângulo FRP também é equilátero. Como o hexágono tem outro eixo de simetria que passa por P, os triângulos APQ e FRP são congruentes; como ambos são equiláteros todos os seus lados são iguais, e em particular temos PQ = FP. Assim, os triângulos AFP e APQ têm bases iguais e a mesma altura, que denotamos por h na figura II. Denotemos agora por a a área do triângulo APQ; temos então

a = área(APQ) = (1/2)PQ × h = (1/2)FP × h = área(AFP).

Isso mostra que na figura III o hexágono está dividido em 18 triângulos de área a; segue que 18_a_ = 45, donde a = 45/18 = 2,5 cm².

As instruções dizem que ovos e creme não podem estar juntos no bolo, bem como leite e laranja; isso elimina as opções (B), (C) e (E). Elas dizem também que um bolo sem creme não pode ter leite, o que elimina a opção (A)

A primeira etapa da viagem do José só pode ter sido C → E ou E → C, pois 4 + 9 = 13 é o único modo de percorrer 13 km entre cidades nessa estrada. Como todas as cidades distam de C menos que 21 km, o percurso inicial foi C → E. Percorrendo 21 km a partir de E levou José à cidade A e mais 12 km o levam à cidade D, que é onde mora sua mãe.

Como os triângulos sombreados são congruentes, os segmentos AP e PC da figura medem ambos 1 cm. Logo os catetos do triângulo ABC medem 1 cm e 2 cm, e o teorema de Pitágoras nos diz que AB² = 1² + 2² = 5. Segue que AB = √5 cm, donde o perímetro do triângulo ABC é 1 + 2 + √5 = 3 + √5 cm.

Se o peso de uma turmalina é o dobro do peso de outra, então seu peso é cinco vezes o preço da outra; isto equivale a dizer que se uma turmalina pesa a metade de outra, então seu preço é um quinto do preço da outra. Zita dividiu sua turmalina em 4 pedras iguais, o que equivale a primeiro dividí-la em 2 turmalinas iguais e depois dividir cada uma dessas em 2 também iguais. No primeiro passo, Zita ficará com 2 turmalinas cada uma de valor 1000/5 = 200 reais. Depois do segundo passo, Zita terá 4 turmalinas, cada uma valendo 200/5 = 40 reais; essas 4 turmalinas juntas valem 4 × 40 = 160 reais.

Podemos esquematizar a solução da seguinte forma, mostrando como calcular o preço de uma das quatro turmalinas menores:

Usando o lado ℓ de um dos quadradinhos do quadriculado como unidade de comprimento, a contagem direta na figura nos dá as áreas e perímetros dos polígonos, conforme a tabela abaixo.

Desse modo, a correspondência é I → (20,25), II → (20,22), III → (30,18) e IV → (34,20). Os pontos correspondentes a I e II têm a mesma abscissa (perímetro), logo estão na mesma vertical no plano cartesiano; como o ponto correspondente a I tem ordenada (área) maior, ele é o que está mais acima, e segue que para estes pontos a correspondência correta é I → C e II → B. Por outro lado, os pontos correspondentes a III e IV têm a mesma ordenada (área), logo estão na mesma horizontal no plano cartesiano; como o ponto correspondente a IV tem abscissa (perímetro) maior, ele está mais à direita. Segue que para esses pontos a correspondência correta é III → D e IV → A.

Consideremos as circunferências que determinam os dois semicírculos, como na figura. O segmento AD é um diâmetro da circunferência maior e BC um diâmetro da menor. O centro da circunferência menor é o ponto médio O de BC; como AB = CD esse ponto também é ponto médio do segmento AD, ou seja, ele também é o centro da circunferência maior.

Vamos denotar por r o raio da circunferência menor; então o raio da maior é r + 1. Como o perímetro de uma circunferência é 2π × raio, segue que a primeira formiguinha andou π(r + 1) cm e a segunda 1 + π_r_ + 1 = 2 + π_r_ cm. Logo a diferença entre os percursos é π(r + 1) − (2 + π_r_) = π_r_ + π − 2 − π_r_ = π − 2 cm.

Manuela pode começar pintando uma das 4 paredes de azul. Depois disso, sobram 2 escolhas de cor para a parede oposta (verde ou branco). Para acabar, ela pode pintar uma das paredes ainda não pintadas com uma das 2 cores não usadas, e então pintar a última parede com a cor que falta. O número de maneiras diferentes de efetuar esse procedimento é 4 × 2 × 2 = 16.

Vamos denotar por x o outro número. Como os 3 números que aparecem em cada linha são todos diferentes, x é diferente de 5 e de 8. Como cada número aparece uma única vez em cada linha, segue que esses números aparecem, cada um, exatamente três vezes na tabela.

Notamos que o 5 não pode aparecer na casa central. De fato, se ele estivesse nessa casa então as casas em cinza da tabela abaixo não poderiam conter outro 5; como os números em cada linha são diferentes, a única possibilidade para os outros dois números 5 seria preencher uma das duas diagonais, o que não pode acontecer pois 5 + 5 + 5 = 15 é ímpar.

Vamos então tentar o 8 na casa central. Analogamente, teremos que ter 8 em uma das diagonais:

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

ou

Para satisfazer todas as condições do problema, as somas nas diagonais devem ser iguais. Em ambas as formas acima isso leva a 24 = 5 + 8 + x = 13 + x, donde x = 11 e os tabuleiros acima são

A outra opção leva a um resultado análogo, e vemos que em qualquer caso a soma das diagonais é 24.
Resta ainda analisar o caso em que o x está na casa central. Como antes, devemos ter uma das duas diagonais preenchida com x:

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

ou

Ambas mostram que 3_x_ = 5 + x + 8 = 13 + x, donde 2_x_ = 13. A segunda opção leva à mesma equação; como ela não tem solução para x natural, concluímos que x não pode estar na casa central.

Para resolver essa questão, precisamos saber qual é a área coberta de cada um dos três quadrados de centros A, B e C. Para isso, vamos considerar a figura ao lado, onde representamos os quadrados de centros A e B. A área coberta no quadrado de centro A é o polígono sombreado AQRT.
Pelo ponto A traçamos as perpendiculares AP e AS aos lados do quadrado. Como A é o centro do quadrado, é imediato que APRS é um quadrado; sua área é 1/4 da área do quadrado maior, ou seja, é (1/4) × 100 = 25 cm². Além disso os ângulos ∠PAQ e ∠SAT, marcados na figura, são iguais; de fato, temos

∠PAQ = ∠PAS − ∠QAS = 90° − ∠QAS = ∠QAT − ∠QAS = ∠SAT.

Segue que os triângulos APQ e AST são congruentes, pois são triângulos retângulos com um lado e um ângulo comuns. Logo

área(AQRT) = área(AST) + área(AQRS) = área(APQ) + área(AQRS)

= área(APRS) = 25 cm²

Do mesmo modo, as áreas cobertas nos quadrados de centros B e C são iguais a 25 cm². Logo a área da figura é 3 × 75 + 100 = 325 cm².

A decomposição de 50 em fatores primos é 50 = 2 × 5². Logo, a dupla desigualdade do enunciado pode ser escrita como (2 × 5²)³ < 5^p < (2 × 5²)⁴, ou seja, 2³ × 5⁶ < 5^p < 2⁴ × 5⁸. Dividindo todos os termos por 5⁶, obtemos 2³ < 5^{p − 6} < 2⁴ × 5², ou seja, 8 < 5^{p − 6} < 400. As únicas potências de 5 que estão entre 8 e 400 são 5² = 25 e 5³ = 125; logo p − 6 só pode assumir os valores 2 e 3, donde p só pode assumir os valores 8 e 9.

Seja n um número de dois algarismos, sendo a seu algarismo das dezenas e b o das unidades; então n = 10_a_ + b. Se a e b são ambos diferentes de zero, o contrário de n é 10_b_ + a. Desse modo, a soma de n e de seu contrário é.

(10_a_ + b) + (10_b_ + a) = 11_a_ + 11_b_ = 11(a + b)

e portanto a soma de um número com seu contrário é sempre um múltiplo de 11. Basta agora notar que todas as opções são múltiplos de 11, com a exceção de 181.

As outras opções são todas somas de um número com seu contrário; de fato, 44 = 13 + 31, 99 = 18 + 81, 121 = 29 + 92 e 165 = 69 + 96.

Como foram achadas essas expressões? Tomemos, como exemplo, 165 = 11 × 15. O raciocínio inicial mostra que se escolhermos algarismos não nulos a e b de modo que sua soma seja 15, então 165 será a soma do número 10_a_ + b e de seu contrário. Por exemplo, podemos tomar a = 6 e b = 9; para essa escolha obtemos a expressão 165 = 69 + 96. Outras escolhas são possíveis; por exemplo, a = 8 e b = 7 leva a 165 = 87 + 78. O mesmo raciocínio serve para as outras alternativas.

O gráfico mostra que com uma mistura contendo 30% de álcool o carro de Cristina rende 15 km/l. Para a primeira etapa de 300 km, ela gastou então 300/15 = 20 litros de combustível, restando no tanque 50 − 20 = 30 litros com 30% de álcool. Desses 30 litros 30%, ou seja, (30/100) × 30 = 9 litros eram de álcool e os restantes 30 − 9 = 21 litros, de gasolina. Para completar o tanque ela colocou 20 litros de álcool; o tanque ficou então cheio com 9 + 20 = 29 litros de álcool e os mesmos 21 litros de gasolina. Nessa mistura o percentual de álcool era de 29/50 = 58/100 = 58%, que é aproximadamente 60%. O gráfico mostra que com essa mistura o carro de Cristina rende aproximadamente 13,5 km/l. Como ela chegou a seu destino com o tanque praticamente vazio, ela percorreu aproximadamente 13,5 × 50 = 675 km. Logo, a viagem de Cristina foi de aproximadamente 300 + 675 = 975 km.

A flecha que aponta para baixo na tabela passa pelos quadrados dos números ímpares: 1² = 1, 3² = 9, 5² = 25 e assim por diante.

Vamos chamar de a_n o n-ésimo termo de nossa seqüência; por exemplo, a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 13 e a₄ = 31. Observando a tabela, vemos que

e assim por diante. Vemos então que a lei de formação da seqüência, a partir de a₂, é

a₂ = [1º ímpar]² + 1 + 1º ímpar

a₃ = [2º ímpar]² + 1 + 2º ímpar

a₄ = [3º ímpar]² + 1 + 3º ímpar

e, em geral,

a_n = [(n − 1)º ímpar]² + 1 + (n − 1)º ímpar

Logo a₃₀ = [29º ímpar]² + 1 + 29º ímpar, e como o 29º número ímpar é 57 segue que a₃₀ = 57² + 1 + 57 = 3307.

Mais geralmente, o (n − 1)º número ímpar é 2(n − 1) − 1 = 2_n_ − 3 e segue que a_n = (2_n_ − 3)² + 1 + (2_n_ − 3) = 4_n_² − 10_n_ + 7.

Inicialmente notamos que a função é decrescente, pois à medida que x cresce a área (BCDP) decresce; isso elimina as alternativas (A) e (D). Notamos também que como os triângulos ACB e ACD são congruentes, suas alturas BQ e DR são iguais; vamos denotá-las por h, como na figura. Então os triângulos BCP e DCP têm a mesma base CP e a mesma altura h, donde

área(BCP) = (CP × h)/2 = área(DCP).

Logo

área(BCDP) = área(BCP) + área(DCP) = 2 × ((CP × h)/2) = CP × h.

Vamos denotar por a o comprimento da diagonal AC. Então CP = a − x e temos

área(BCDP) = (a − x)h = ah − hx.

Como ah e h são constantes, segue que a área (BCDP) é uma função linear de x, o que elimina as alternativas (C) e (E).

Vamos denotar por u a quantidade de ração que uma vaca come em um dia. No início o fazendeiro tinha ração suficiente para alimentar 20 vacas por 30 dias; logo, ele tinha 20 × 30 = 600 u de ração. O gráfico indica que no dia da venda ele já havia gasto 40% da ração, ou seja, (40/100) × 600 = 240 u. Como as 20 vacas comem 20 u de ração por dia, a venda ocorreu no 240/20 = 12º dia.

Vamos denotar por x o número de vacas que ele vendeu. Ele ficou então com 20 − x vacas, e as 600 − 240 = 360 u de ração que ele tinha no momento da venda foram suficientes para alimentar essas vacas por 36 − 12 = 24 dias. Logo (20 − x) × 24 = 360, donde 20 − x = 360/24 = 15, ou seja, x = 5.

Para ir de A até B a formiguinha tem que descer do nível 1 até o nível 6, conforme a figura. O caminho que a formiguinha segue é determinado pela escolha do segmento vertical que ela vai usar para passar de um nível para o seguinte, pois o caminho horizontal que liga dois segmentos verticais ligando níveis consecutivos é único. Como exemplo mostramos na figura, em traço mais forte, os segmentos que ela escolheu para fazer o caminho ilustrado no enunciado. O número de segmentos que ela pode usar para passar de um nível para o outro está tabulado a seguir:

Segue que o número de maneiras que nossa formiguinha tem para ir de A até B é 4 × 3 × 5 × 3 × 4 = 720.