OBMEP 2007 · Nível 2 (8º e 9º anos): prova com gabarito

No diagrama ao lado cada quadradinho tem 1 km de lado e o ponto C indica a casa de Carlos. Representando o trajeto descrito no enunciado pelas flechas em traço fino, vemos que a escola de Carlos está localizada no ponto E. Desse modo a flecha CE, mais grossa, representa o caminho que o Carlos tem que fazer para ir à escola em linha reta. Logo a escola fica 2 km a leste da casa de Carlos.

As duas formiguinhas ficarão de frente uma para a outra no momento em que ambas estiverem no segmento CD. Como ambas andam com a mesma velocidade, quando a formiguinha que partiu de B chegar ao ponto D a outra já terá passado de C e andado mais 10 metros. Nesse momento a distância entre elas será de 60 − 10 = 50 metros.

A faixa pode ser decomposta em 22 triângulos equiláteros congruentes aos triângulos sombreados, como mostra a figura. Logo, a área da parte sombreada é 4/22 da área total, ou seja,

(4/22) × 154 = 28 cm².

Quatro voltas na praça correspondem a um total de 4 × 4 = 16 lados do quadrado. Sueli caiu quando atingiu 3/7 desse percurso, ou seja, quando tinha percorrido (3/7) × 16 = 48/7 = 6 + 6/7 lados. Olhando para a figura, vemos que percorrer 6 lados levou a Sueli ao ponto B; como 6/7 é menor que 1, ela não chegou ao ponto D. Logo ela só pode ter caído no ponto C.

Vamos usar o símbolo ≈ para indicar “aproximadamente igual a”; ou seja, x ≈ y quer dizer que x é aproximadamente igual a y. Por exemplo, 0,99 ≈ 1, √401 ≈ 20 e 60,12 ≈ 60. Em geral, se em uma operação aritmética trocamos os números envolvidos por outros aproximadamente iguais a eles, o resultado da operação deve ser uma aproximação do que teríamos obtido com os números originais. No nosso caso

Vamos investigar as alternativas uma a uma. Como n é negativo, temos:

a) −3_n_ = (−3)n é positivo pois é o produto de dois números negativos;

b) 3_n_ é negativo pois é o produto de um número positivo e um negativo;

c) n − 3 = n + (−3) é negativo pois é a soma de dois números negativos;

d) 9_n_ − 3 = 9_n_ + (−3) é negativo pois é a soma de dois números negativos; notamos que 9_n_ é negativo pois é o produto de um número positivo e outro negativo;

e) n − 9 é negativo, como no item (c).

Como um número positivo é maior que qualquer número negativo, vemos que o maior dos números acima é −3_n_.

Na figura I mostramos o retângulo antes de ser cortado e, na figura II, o modo como as peças se encaixam para formar o quadrado.

O encaixe mostra que os segmentos pontilhados são todos iguais, assim como os segmentos em traço mais grosso. Observando a figura I, vemos então que

3 × (comprimento de um segmento em traço grosso) = 45 cm,

donde o comprimento de um desses segmentos é 45 ÷ 3 = 15 cm. Da figura II temos

lado do quadrado = 45 + comprimento do segmento em traço grosso = 60 cm.

Por outro lado, ainda observando a figura II, vemos que

3 × (comprimento de um segmento pontilhado) = 60 cm,

donde o comprimento de um desses segmentos é 60 ÷ 3 = 20 cm. Finalmente, voltando à figura I, temos

4 × (comprimento de um segmento em traço grosso) = base do retângulo,

e segue que a base do retângulo mede 4 × 20 = 80 cm.

As instruções dizem que ovos e creme não podem estar juntos no bolo, bem como leite e laranja; isso elimina as opções (B), (C) e (E). Elas dizem também que um bolo sem creme não pode ter leite, o que elimina a opção (A).

A primeira etapa da viagem do José só pode ter sido C → E ou E → C, pois 4 + 9 = 13 é o único modo de percorrer 13 km entre cidades nessa estrada. Como todas as cidades distam de C menos que 21 km, o percurso inicial foi C → E. Percorrendo 21 km a partir de E levou José à cidade A e mais 12 km o levam à cidade D, que é onde mora sua mãe.

Se o peso de uma turmalina é o dobro do peso de outra, então seu peso é cinco vezes o preço da outra; isto equivale a dizer que se uma turmalina pesa a metade de outra, então seu preço é um quinto do preço da outra. Zita dividiu sua turmalina em 4 pedras iguais, o que equivale a primeiro dividi-la em 2 turmalinas iguais e depois dividir cada uma dessas em 2 também iguais. No primeiro passo, Zita ficará com 2 turmalinas cada uma de valor 1000/5 = 200 reais. Depois do segundo passo, Zita terá 4 turmalinas, cada uma valendo 200/5 = 40 reais; essas 4 turmalinas juntas valem 4 × 40 = 160 reais.

Podemos esquematizar a solução da seguinte forma, mostrando como calcular o preço de uma das quatro turmalinas menores:

Os números ímpares são da forma 2_n_ − 1 onde n é um número natural positivo; por exemplo, 1 = 2 × 1 − 1 é o primeiro número ímpar e 23 = 2 × 12 − 1 é o 12º número ímpar. Como 47 = 2 × 24 − 1, vemos que 47 é o 24º número ímpar, ou seja, Luís mora na 24ª casa a contar de uma extremidade da rua. Analogamente, temos 71 = 2 × 36 − 1, ou seja, Luís mora na 36ª casa a contar da outra extremidade da rua. Ou seja: a partir de uma extremidade da rua há 23 casas antes da casa de Luís e a partir da outra há 35. No total, a rua tem 23 + 1 + 35 = 59 casas; a parcela 1 nessa adição corresponde à casa do Luís.

O triângulo AOB é isósceles pois os lados OA e OB são iguais. Logo, os ângulos OÂB e OB̂A também são iguais, ou seja, ambos têm medida a. Notamos agora que o ângulo central AÔB mede (4/10) × 360° = 144°. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, segue que 2_a_ + 144° = 180°. Logo a = (180° − 144°)/2 = 36/2 = 18°.

Ao lado vemos as figuras do enunciado da questão. A descrição das peças da figura I implica que os pontos M e N são pontos médios dos lados AB e AC. A figura III, onde P é o ponto médio de BC, mostra que a área do triângulo AMN é igual à quarta parte da área do triângulo ABC, que por sua vez tem área igual a metade da área do quadrado. Logo

área(AMN) = (1/4) × (1/2) × 40 = 5 cm².

A figura II mostra que o buraco consiste de três triângulos iguais ao triângulo AMN; logo sua área é 15 cm².

A figura mostra um cartão com suas dimensões em centímetros indicadas por x e y, bem como os retângulos que Juliana pode fazer.

Segue que 2(8_x_ + y) = 236 cm e 2(x + 8_y_) = 376 cm. Temos então 8_x_ + y = 118, donde y = 118 − 8_x_. Da segunda equação segue x + 8_y_ = 188; substituindo o valor de y temos

x + 8(118 − 8_x_) = x + 944 − 64_x_ = 944 − 63_x_ = 188.

Logo 63_x_ = 756, donde x = 756/63 = 12 cm e então y = 118 − 8_x_ = 118 − 96 = 22 cm.

Logo a área do cartão é 12 × 22 = 264 cm².

Usando o lado ℓ de um dos quadradinhos do quadriculado como unidade de comprimento, a contagem direta na figura nos dá as áreas e perímetros dos polígonos, conforme a tabela abaixo.

Desse modo, a correspondência é I → (20,25), II → (20,22) e III → (30,18). Os pontos correspondentes a I e II têm a mesma abscissa (perímetro) logo estão na mesma vertical no plano cartesiano; como o ponto correspondente a I tem ordenada (área) maior, ele é o que está mais acima. Logo I → C e II → A; resta III → B.

Manuela pode começar pintando uma das 4 paredes de azul. Depois disso sobram 2 escolhas de cor para a parede oposta (verde ou branco). Para acabar, ela pode pintar uma das paredes ainda não pintadas com uma das 2 cores não usadas, e então pintar a última parede com a cor que falta. O número de maneiras diferentes de efetuar esse procedimento é 4 × 2 × 2 = 16.

A maior soma possível de nove algarismos acontece quando temos nove algarismos 9 e é 9 × 9 = 81. Como 79 = 81 − 2, vemos que para que a soma de nove algarismos seja igual a 79 só há duas possibilidades

• sete algarismos 9 e dois algarismos 8;
• oito algarismos 9 e um algarismo 7.

No primeiro caso podemos formar vários números pares com soma dos algarismos igual a 79; por exemplo, 999 999 988 e 899 999 998. No segundo caso isso não é possível pois só temos algarismos ímpares.

De acordo com a tabela, a turma tem 6 + 18 + 16 = 40 alunos. Logo, a média aritmética das notas da turma é

Se todos os alunos tivessem tirado uma nota menor que a nota possível, isto é, que os alunos do primeiro grupo tivessem tirado 0, os do segundo 4 e os do terceiro 7, a média obtida seria menor que M. Logo

Por outro lado, M é menor ou igual que a média no caso em que todos os alunos tivessem tirado a maior nota possível, isto é, que os alunos do primeiro grupo tivessem tirado 4, os do segundo 7 e os do terceiro 10. Logo

Logo 4,6 < M ≤ 7,75; a única alternativa que satisfaz essa restrição é 4,9.

Vamos denotar por x o outro número. Como os 3 números que aparecem em cada linha são todos diferentes, x é diferente de 5 e de 8. Como cada número aparece uma única vez em cada linha, segue que esses números aparecem, cada um, exatamente três vezes na tabela.

Notamos que o 5 não pode aparecer na casa central. De fato, se ele estivesse nessa casa então as casas em cinza da tabela abaixo não poderiam conter outro 5; como os números em cada linha são diferentes, a única possibilidade para os outros dois números 5 seria preencher uma das duas diagonais, o que não pode acontecer pois 5 + 5 + 5 = 15 é ímpar.

Vamos então tentar o 8 na casa central. Analogamente, teremos que ter 8 em uma das diagonais:

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

ou

Para satisfazer todas as condições do problema, as somas nas diagonais devem ser iguais. Em ambas as formas acima isso leva a 24 = 5 + 8 + x = 13 + x, donde x = 11 e os tabuleiros acima são

A outra opção leva a um resultado análogo, e vemos que em qualquer caso a soma das diagonais é 24.

Resta ainda analisar o caso em que o x está na casa central. Como antes, devemos ter uma das duas diagonais preenchida com x:

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

ou

Ambas mostram que 3_x_ = 5 + x + 8 = 13 + x, donde 2_x_ = 13. A segunda opção leva à mesma equação; como ela não tem solução para x natural, concluímos que x não pode estar na casa central.

Sejam x a distância da casa de João à de Maria, y a da casa de Maria ao cinema e z a da casa de João ao cinema quando ele toma o caminho que não passa pela casa da Maria. Se João vai ao cinema com a Maria, ele anda x + y, sendo que desse total ele anda x = (2/3)(x + y) sozinho. Se ele vai ao cinema sozinho, ele anda z = x + y − 1 = 2_y_. De x + y − 1 = 2_y_ tiramos x = y + 1; substituindo na primeira equação obtemos y + 1 = (2/3)(2_y_ + 1), donde y = 1.