Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas · 1ª fase
As 20 questões oficiais da OBMEP 2006, nível 2 (8º e 9º anos), com gabarito e solução oficial. Tente resolver antes de abrir a resposta.
No app você resolve com cronômetro, vê a correção e guarda o seu progresso. Esta edição é parte do plano OBMEP no app.
No retângulo ABCD da figura, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC. Qual é a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo ABCD?
1/5
1/4
1/3
1/2
2/3
Pela simetria da figura, vemos que para cada região sombreada existe uma igual em branco. Logo, a parte sombreada tem metade da área do retângulo.
Bruno preencheu com os algarismos 1, 2, 3 e 4 as dez casas que estão sem algarismo na tabela, de modo que em nenhuma linha e em nenhuma coluna aparecessem dois algarismos iguais. Qual a soma dos números que Bruno colocou nas casas marcadas com bolinhas pretas?
10
11
12
13
14
Uma maneira de iniciar o preenchimento da tabela é
e fica fácil completar a tabela
Logo a soma pedida é 4 + 3 + 4 + 2 = 13
Qual é a soma dos algarismos do número
101500 + 101792 + 101822 + 101888 + 101889?
1
5
10
1889
1890
Cada potência 10n é o algarismo 1 seguido de n zeros. Como os expoentes 1500, 1792, 1822, 1888 e 1889 são todos diferentes, cada potência coloca o seu 1 numa posição diferente do número, e não há "vai um" na soma.
O resultado tem cinco algarismos 1 e todos os outros iguais a 0:
11 00…0 1 00…0 1 00…0 1 00…0
A soma dos algarismos é 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
Resposta: B (5).
Dica: somar potências de 10 com expoentes distintos é só "colocar uns" em casas diferentes.
No retângulo da figura temos AB = 6 cm e BC = 4 cm. O ponto E é o ponto médio do lado AB. Qual é a área da parte sombreada?
12 cm2
15 cm2
18 cm2
20 cm2
24 cm2
A parte branca é o triângulo BEF; a sombreada é o retângulo menos esse triângulo.
1. Área do retângulo
6 × 4 = 24 cm²
2. Área do triângulo BEF
A base EB é metade de AB: 6 ÷ 2 = 3 cm. A altura é a distância de F (no lado DC) até a reta AB, que é a altura do retângulo: BC = 4 cm.
Área = 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm²
3. Parte sombreada
24 − 6 = 18 cm²
Resposta: C (18 cm²).
Dica: não importa onde F esteja no lado DC; a altura do triângulo é sempre 4 cm.
Um aluno compara as notas das 6 provas de Português que fez em 2004 e de outras 6, da mesma matéria, que fez em 2005. Ele repara que em 5 provas ele obteve as mesmas notas nos dois anos. Na outra prova a nota foi 86 em 2004 e 68 em 2005. Em 2004 a média aritmética das seis notas foi 84. Qual foi a média em 2005?
78
81
82
83
87
Sejam a, b, c, d, e as cinco notas que se repetem em 2004 e 2005. A média em 2005, que queremos calcular, é
Logo, para saber a média em 2005, basta determinar (a + b + c + d + e)/6. Para isso usamos os dados sobre a média em 2004, que é
Segue que
donde
Assim, a média de 2005 foi
Mônica quer dividir o mostrador de um relógio em três partes com 4 números cada uma usando duas retas paralelas. Ela quer também que a soma dos quatro números em cada parte seja a mesma. Quais os números que vão aparecer em uma das partes quando Mônica conseguir o que ela quer?
1, 6, 7, 12
3, 4, 9, 10
12, 2, 5, 7
4, 5, 8, 9
1, 7, 8, 10
Como 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 11 + 12 = 78, a soma dos números em cada uma das três partes é 78 ÷ 3 = 26. Como a divisão é feita por duas retas paralelas, segue que numa das três partes aparecem, necessariamente, quatro números consecutivos. Nesse caso, eles são 5, 6, 7 e 8, pois esses são os únicos quatro números consecutivos cuja soma é 26. Logo, já sabemos a posição de uma das retas, indicada com traço mais grosso na figura. A outra reta está determinada pelas condições de paralelismo e de separar os números em grupos de 4.
No início de janeiro de 2006, Tina formou com colegas um grupo para resolver problemas de Matemática. Eles estudaram muito e por isso, a cada mês, conseguiam resolver o dobro do número de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 1134 problemas. Quantos problemas o grupo resolveu em janeiro?
12
18
20
24
36
Se o grupo resolveu x problemas em janeiro, então nos outros meses eles resolveram 2_x_, 4_x_, 8_x_, 16_x_ e 32_x_ problemas. Assim, o total de problemas resolvidos ao final de junho foi x + 2_x_ + 4_x_ + 8_x_ + 16_x_ + 32_x_ = 63_x_. Logo 63_x_ = 1134, donde x = 1134/63 = 18.
Para curar uma infecção dentária de Bento, o Dr. Tiradentes prescreveu o tratamento descrito na receita abaixo.
Receita
Para o Sr. Bento
1. Remédio verde: 1 comprimido de 6 em 6 horas, tomar com um copo de água cheio – 5 caixas de 12 comprimidos.
2. Remédio azul: 1 comprimido de 5 em 5 horas, tomar com um copo de água cheio – 5 caixas de 13 comprimidos.
Atenção: Na coincidência de horários dos dois remédios, tomar os dois comprimidos apenas com um copo de leite cheio.
Marcar nova consulta após terminar a medicação.
Dr. Tiradentes
Ouro Preto, 21 de abril de 1785
Bento iniciou o tratamento às 6 horas da manhã do dia 22 de abril de 1785, tomando um comprimido verde e um azul. Quantos copos de água e quantos de leite Bento tomou por causa do tratamento?
60 copos de água e 65 de leite.
100 copos de água e 14 de leite.
103 copos de água e 11 de leite.
114 copos de água e 11 de leite.
125 copos de água e nenhum de leite.
Solução 1: Os horários em que Bento deve tomar o remédio verde até terminar as 60 pílulas são 6, 12, 18 e 24 horas, todos os dias de 22 de abril a 06 de maio inclusive. Quanto ao remédio azul, vamos fazer uma tabela de horários:
Os 11 horários sombreados na tabela são aqueles em que Bento deve tomar simultaneamente os remédios verde e azul, ou seja, aqueles em que ele deve tomar um copo de leite. Logo, o número de copos de água que ele deve tomar (65 − 11) + (60 − 11) = 103
Solução 2: Como o mdc entre 5 e 6 é 30, os horários de coincidência dos dois remédios ocorrem de 30 em 30 horas, começando às 6 horas do dia 22.
Nos dias 26 de abril e 01 de maio Bento só toma 4 comprimidos do remédio azul pois o primeiro horário é às 05 horas. Como no dia 05 de maio ele precisa tomar apenas 03 comprimidos do remédio azul, não há coincidência de horários neste dia, pois caso houvesse ela ocorreria às 24 horas, o que corresponderia ao quarto comprimido do dia. A partir daqui a solução segue como na primeira solução.
A figura representa parte de uma régua graduada de meio em meio centímetro, onde estão marcados alguns pontos. Qual deles melhor representa o número 2_x_ + 1?
R
S
T
U
V
Notamos que x é maior que 0,5 e menor que 1, isto é, 0,5 < x < 1. Como 2 é positivo, multiplicando por 2 todos os membros desta desigualdade o sinal é preservado e obtemos 1 < 2_x_ < 2. Somando 1 a todos os membros obtemos 2 < 2_x_ + 1 < 3, ou seja, 2_x_ + 1 é um número entre 2 e 3. O único ponto na figura que satisfaz esta condição é o ponto T.
No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?
I
II
III
IV
V
As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:
Como 20/30 é maior que 50/100 e 10/120. Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I.
Na forma percentual, 20/30 ≈ 67%, 50/100 = 50% e 10/120 ≈ 8,3%.
Um fabricante de chocolate cobrava R$ 5,00 por uma barra de 250 gramas. Recentemente o peso da barra foi reduzido para 200 gramas, mas seu preço continuou R$ 5,00. Qual foi o aumento percentual do preço do chocolate desse fabricante?
10%
15%
20%
25%
30%
Inicialmente o fabricante cobrava R$ 20,00 por quilo e passou, com o aumento de preço, a cobrar R$ 25,00 por quilo. Logo o aumento do preço foi de R$ 5,00 por quilo e o aumento percentual de 5/20 = 25%.
Se 1/(a + 11) = 37/73, então 1/(a + 13) é igual a
37/78
42/78
37/98
37/75
37/147
De 1/(a + 11) = 37/73 segue que a + 11 = 73/37. Logo a + 13 = a + 11 + 2 = 73/37 + 2 = 147/37 e segue que 1/(a + 13) = 37/147.
Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual a medida do ângulo x ?
30°
50°
80°
100°
130°
Observando a figura da fita dobrada vemos que x + 50° + 50° = 180°, donde x = 80°.
Uma professora distribuiu 286 bombons igualmente entre seus alunos da 6a série. No dia seguinte, ela distribuiu outros 286 bombons, também igualmente, entre seus alunos da 7a série. Os alunos da 7a série reclamaram que cada um deles recebeu 2 bombons a menos que os alunos da 6a série. Quantos alunos a professora tem na 7a série?
11
13
22
26
30
Seja x o número de bombons que cada aluno da 6a série recebeu. Então cada aluno da 7a série recebeu x − 2 bombons, donde
número de alunos da 6a série = 286/x
e
número de alunos da 7a série = 286/(x − 2).
Como número de alunos é um número inteiro segue que x e x − 2 são divisores de 286. Os divisores de 286 são 1, 2, 11, 13, 22, 26, 143 e 286. Como os únicos divisores de 286 que diferem de 2 são 11 e 13, segue que x = 13. Portanto o número de alunos da turma da 7a série é 286/11 = 26.
Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?
6
12
44
46
48
Os casais 1, 2 e 3 podem sentar-se em seis ordens distintas: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Cada casal pode sentar-se de duas maneiras distintas: com o namorado à direita ou à esquerda de sua namorada. Logo, em cada uma das 6 ordens possíveis para os casais, temos 2 × 2 × 2 = 8 possibilidades. Logo o número de ordens distintas em que as seis pessoas podem sentar-se é 6 × 8 = 48.
Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado.
Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?
Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; logo as alternativas (A) e (B) estão excluídas. As alternativas (D) e (E) estão excluídas pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum.
Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789 podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição: 123 + 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 72?
3
4
5
6
7
Como queremos obter a soma 72, devemos colocar sinais de adição entre todos os algarismos a partir do 6, isto é 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 + 7 + 8 + 9 = 72, com 7 + 8 + 9 = 24. Logo precisamos que 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 = 48. Com o mesmo argumento usado anteriormente, vemos que isso só pode ser feito como 1 ? 2 ? 3 ? 4 + 5 + 6, com 5 + 6 = 11. Para chegarmos a 72 devemos então ter 1 ? 2 ? 3 ? 4 = 37, o que só pode ser feito como 1 + 2 + 34. A expressão final é 1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 72 e logo são necessários 7 sinais de adição.
As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12 de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual é o produto dos números das faces coladas?
42
48
60
70
72
Como 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78, a soma de duas faces opostas em cada cubo é 78 ÷ 6 = 13. Logo, no cubo à direita, a face oposta à face 3 é a face 10, que é então uma das faces coladas. Falta descobrir qual a face do outro cubo que foi colada. O enunciado diz que é uma face par, logo só pode ser 6, 8 ou 12, porque já sabemos onde estão as faces 2, 4 e 10. Olhando para o cubo da esquerda vemos que a face 1 é oposta à face 12 e a face 5 oposta à face 8. Logo, nesse cubo, a face colada foi a 6. Portanto a resposta é 6 × 10 = 60.
Paulo usou quatro peças diferentes dentre as cinco acima para montar a figura indicada. Em qual das peças está o quadradinho marcado com X?
I
II
III
IV
V
Por tentativa e erro vemos que há apenas duas maneiras de cobrir a figura com quatro peças, conforme mostrado abaixo. Em ambas, a casa com o X é coberta pela peça I.
Quantos números menores que 10 000 são tais que o produto dos seus algarismos seja 100? Por exemplo, 455 é um desses números, porque 4 × 5 × 5 = 100.
menos de 10
18
21
28
mais de 30
Para que o produto seja 100, cada algarismo deve ser um divisor de 100. Os algarismos divisores de 100 são 1, 2, 4 e 5. Não é possível obter o produto 100 com números que tenham apenas 1 ou 2 algarismos, logo os números procurados têm 3 ou 4 algarismos, por serem menores que 10000. Vejamos como obter o produto 100 com 3 ou 4 desses algarismos. Para facilitar a listagem observamos que 8 não é divisor de 100, donde os algarismos 2 e 4 não podem aparecer num mesmo número. Logo os números procurados são:
num total de 21 números.
Treine por assunto, por dificuldade ou com questões de todas as edições.