Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas · 1ª fase
As 20 questões oficiais da OBMEP 2006, nível 1 (6º e 7º anos), com gabarito e solução oficial. Tente resolver antes de abrir a resposta.
No app você resolve com cronômetro, vê a correção e guarda o seu progresso. Esta edição é parte do plano OBMEP no app.
Quanto é 99 + 999 + 9 999?
10 997
11 007
11 097
99 997
99 999
Cada parcela é uma potência de 10 menos 1:
99 = 100 − 1
999 = 1 000 − 1
9 999 = 10 000 − 1
Somando:
(100 + 1 000 + 10 000) − 3 = 11 100 − 3 = 11 097
Resposta: C (11 097).
Dica: números formados só por noves ficam fáceis de somar quando escritos como "potência de 10 menos 1".
Aninha nasceu com 3,250 quilos. A figura mostra Aninha sendo pesada com um mês de idade. Quanto ela engordou, em gramas, em seu primeiro mês de vida?
550
650
750
850
950
A balança mostra que o peso de Aninha com um mês de idade é de 4,1 quilos, ou seja, 4100 gramas.
Aninha nasceu com 3250 gramas, logo ela engordou 4100 − 3250 = 850 gramas em seu primeiro mês de vida.
Comentário: usamos aqui a palavra “peso” em lugar de “massa” devido a seu emprego coloquial.
Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.
Em qual deles a região sombreada tem a maior área?
I
II
III
IV
V
Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a área da região sombreada é a metade da área do quadrado. Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais, e outra vez a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Na opção III o triângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da opção II, ou seja, menor que metade da área do quadrado. Na opção IV, observamos na figura ao lado que a perpendicular MN ao segmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais uma vez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Finalmente, a área do triângulo sombreado na opção V é maior do que a área do triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior do que metade da área do quadrado.
Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato, o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.
Cinco discos de papelão foram colocados um a um sobre uma mesa, conforme mostra a figura. Em que ordem os discos foram colocados na mesa?
V, R, S, U, T
U, R, V, S, T
R, S, U, V, T
T, U, R, V, S
V, R, U, S, T
Solução 1: Na figura vê-se que V está abaixo de R, que está abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaixo de T. Logo a ordem em que os discos foram colocados sobre a mesa é V, R, S, U, T.
Solução 2: T está acima de U, que por sua vez está acima de S e V. Como R está abaixo de S e acima de V vê-se que S foi colocado na mesa depois de V e R, e chegamos à mesma solução anterior.
Sabendo que 987 × 154 = 151 998 podemos concluir que 9870 × 1,54 é igual a
15,1998
1 519,98
15 199,8
151 998
1 519 980
Compare 9870 × 1,54 com a conta conhecida 987 × 154:
No total, o resultado fica dividido por 100 ÷ 10 = 10:
9870 × 1,54 = 151 998 ÷ 10 = 15 199,8
Resposta: C (15 199,8).
Dica: para conferir, estime: 10 000 × 1,5 = 15 000, que está bem perto do resultado.
Pedro vende na feira cenouras a R$1,00 por quilo e tomates a R$1,10 por quilo. Certo dia ele se distraiu, trocou os preços entre si, e acabou vendendo 100 quilos de cenoura e 120 quilos de tomate pelos preços trocados. Quanto ele deixou de receber por causa de sua distração?
R$ 1,00
R$ 2,00
R$ 4,00
R$ 5,00
R$ 6,00
Solução 1: Se Pedro não tivesse trocado os preços, a quantia que ele teria recebido pela venda de 100 quilos de cenoura e 120 quilos de tomate seria 100 × 1 + 120 × 1,10 = 100 + 132 = 232 reais. A quantia que ele recebeu, de fato, foi de 100 × 1,10 + 120 × 1 = 110 + 120 = 230 reais. Logo, por causa de sua distração, ele perdeu 232 − 230 = 2 reais.
Solução 2: Como a diferença dos preços dos dois produtos é R$ 0,10 por quilo, ao trocar os preços Pedro ganhou 100 × 0,10 = 10 reais na venda das cenouras e perdeu 120 × 0,10 = 12 reais na venda dos tomates. Logo, no final, ele perdeu 2 reais.
Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?
1
2
3
4
8
Os casais 1 e 2 podem se sentar de duas maneiras distintas:
No primeiro caso, as quatro pessoas podem se sentar em 4 ordens:
No segundo caso, obtemos da mesma maneira outras 4 ordens. Logo os casais podem se sentar no banco de 4 + 4 = 8 maneiras distintas.
A figura é formada por três quadrados, um deles com área de 25 cm2 e o outro com 9 cm2. Qual é o perímetro da figura?
20 cm
22 cm
24 cm
26 cm
38 cm
Um quadrado de lado ℓ tem área ℓ2. Os lados dos quadrados de áreas 25 cm2 e 9 cm2 medem, respectivamente, 5 cm e 3 cm. Segue que o lado do quadrado menor mede 5 − 3 = 2 cm. O contorno da figura é formado por 3 lados de 5 cm, 2 lados de 3 cm, 2 lados de 2 cm e um segmento que é a diferença entre um lado de 3 cm e outro de 2 cm, donde o perímetro é 3 × 5 + 2 × 3 + 2 × 2 + (3 − 2) = 26 cm.
Uma professora de Matemática escreveu uma expressão no quadro-negro e precisou sair da sala antes de resolvê-la com os alunos. Na ausência da professora, Carlos, muito brincalhão, foi ao quadro-negro e trocou todos os algarismos 3 por 5, os 5 por 3, o sinal de + pelo de × e o de × pelo de +, e a expressão passou a ser (13 ÷ 5) × (53 + 2) − 25. Qual é o resultado da expressão que a professora escreveu?
22
32
42
52
62
Para encontrar a expressão que a professora escreveu no quadro negro, precisamos destrocar tudo o que Carlos trocou:
Logo o resultado da expressão que a professora escreveu no quadro negro é (15 ÷ 3) + (35 × 2) − 23 = 5 + 70 − 23 = 52.
Rosa preencheu com os algarismos 1, 2, 3 e 4 as oito casas que estão sem algarismo na tabela, de modo que em nenhuma linha e em nenhuma coluna aparecessem dois algarismos iguais. Qual a soma dos números que Rosa colocou nas casas marcadas com bolinhas pretas?
10
11
12
13
14
Uma maneira de iniciar o preenchimento da tabela é
O resultado final é
e a soma procurada é 4 + 3 + 4 + 2 = 13.
Cada um dos símbolos □ e △ representa um único algarismo. Se a multiplicação indicada ao lado está correta, então o valor de □ × △ é
12
15
27
39
45
Como o resultado da multiplicação é um número de três algarismos, então □ só pode representar 1, 2 ou 3. Logo não “vai 1” quando multiplicamos □ (multiplicador) por □ (algarismo das unidades do multiplicando) e assim □ × 2 = 6, donde □ = 3 e △ = 9. Portanto □ × △ = 27.
César tem cinco peças de madeira feitas de quadradinhos iguais: quatro peças com dois quadradinhos cada e uma com um único quadradinho.
Em cada quadradinho ele escreveu um número e, em seguida, montou com as peças o quadrado ao lado. O número que César escreveu na peça de um único quadradinho foi
um número maior que 9.
um número menor que 11.
um número ímpar maior que 27.
um número par menor que 10.
um número maior que 21 e menor que 24.
Para montar o quadrado maior, a peça de um quadradinho não poderá ocupar nenhuma das quatro casas sombreadas na figura ao lado. Logo César só pode ter escrito nessa peça os seguintes números: 12, 25, 14, 20 ou 16.
Examinemos agora cada uma das opções:
(A) todos esses números são maiores que 9
(B) nenhum desses números é menor que 11
(C) nenhum desses números é maior que 27
(D) nenhum desses números é par menor que 10
(E) nenhum desses números está entre 21 e 24
donde temos a opção correta.
No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000?
I
II
III
IV
V
As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:
Como 20/30 é maior que 50/100 e 10/120. Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I.
Na forma percentual, 20/30 ≈ 67%, 50/100 = 50% e 10/120 ≈ 8,3%.
Na figura, os cinco quadrados são iguais e os vértices do polígono sombreado são pontos médios dos lados dos quadrados. Se a área de cada quadrado é 1 cm2, qual a área do polígono sombreado?
2 cm2
2,5 cm2
3 cm2
3,5 cm2
4 cm2
A região sombreada é formada pelo quadrado central, quatro retângulos cada um com metade da área de um quadrado e quatro triângulos cada um com um oitavo da área de um quadrado. Logo a área da região sombreada é 1 + 4 × 1/2 + 4 × 1/8 = 3,5 cm2.
Um fabricante de chocolate cobrava R$ 5,00 por uma barra de 250 gramas. Recentemente o peso da barra foi reduzido para 200 gramas, mas seu preço continuou R$ 5,00. Qual foi o aumento percentual do preço do chocolate desse fabricante?
10%
15%
20%
25%
30%
Inicialmente o fabricante cobrava R$ 20,00 por quilo e passou, com o aumento de preço, a cobrar R$ 25,00 por quilo. Logo o aumento do preço foi de R$ 5,00 por quilo e o aumento percentual de 5/20 = 25%.
Em uma caixa quadrada há 4 bolas brancas e 2 bolas pretas, e numa caixa redonda há 6 bolas, todas pretas. Paula quer que tanto na caixa quadrada quanto na redonda a razão entre a quantidade de bolas brancas e o total de bolas em cada caixa seja a mesma. Quantas bolas brancas Paula precisa tirar da caixa quadrada e passar para a caixa redonda?
nenhuma
1
2
3
4
Solução 1: Cada vez que se passa uma bola branca da caixa quadrada para a redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas na caixa quadrada diminui de 1; já na caixa redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas aumenta de 1.
Como 1/3 = 3/9, Paula terá que passar 3 bolas brancas da caixa quadrada para a redonda.
Solução 2: Seja x o número de bolas brancas que Paula deve transferir da caixa quadrada para a caixa redonda. Então
(4 − x)/(6 − x) = x/(6 + x)
e resolvendo esta equação obtemos x = 3.
Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado.
Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?
Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; logo as alternativas (A) e (B) estão excluídas. As alternativas (D) e (E) estão excluídas pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum.
Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789 podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição: 123 + 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenha assim o número 54?
4
5
6
7
8
Como queremos obter a soma 54, devemos colocar sinais de adição entre todos os algarismos a partir do 5, isto é, 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 54 (sendo 6 + 7 + 8 + 9 = 30). Logo precisamos que 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 = 24.
Com o mesmo argumento usado anteriormente, vemos que isso só pode ser feito como 12 + 3 + 4 + 5. Logo 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 54 é a expressão procurada, para a qual necessitamos de 7 sinais de adição.
As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual o produto dos números das faces coladas?
42
48
60
70
72
Como 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78, a soma de duas faces opostas em cada cubo é 78 ÷ 6 = 13. Logo, no cubo à direita, a face oposta à face 3 é a face 10, que é então uma das faces coladas. Falta descobrir qual a face do outro cubo que foi colada. Como é uma face par, só pode ser 6, 8 ou 12, porque já sabemos onde estão as faces 2, 4 e 10. Olhando para o cubo da esquerda vemos que a face 1 é oposta à face 12 e a face 5 oposta à face 8. Logo, nesse cubo, a face colada foi a 6. Portanto a resposta é 6 × 10 = 60.
Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite?
apenas a xícara I
as xícaras III e IV
as xícaras II e V
as xícaras III e V
as xícaras IV e V
Como 950 + 550 = 1500 = 2 × 750, uma solução é café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V. Nessa solução temos apenas uma xícara com suco.
Será que existe outra solução com suco em duas xícaras? Se sim, teríamos duas possibilidades para a quantidade de suco:
i. 475 + 325 = 800 ml (suco nas duas xícaras menores) Nesse caso teríamos 1600 ml de café o que é impossível obter com 1 ou 2 xícaras dentre as I, II e III
ou
ii. maior do que 800 ml; nesse caso a quantidade de café seria maior que 800 × 2 = 1600 ml, o que só pode ocorrer com café nas xícaras I e II, que somam 950 + 750 = 1700 ml. Neste caso a quantidade de suco seria 850 ml, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.
Logo há suco em apenas uma xícara, donde a única solução possível é a dada acima.
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