Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas · 1ª fase
As 20 questões oficiais da OBMEP 2005, nível 2 (8º e 9º anos), com gabarito e solução oficial. Tente resolver antes de abrir a resposta.
No app você resolve com cronômetro, vê a correção e guarda o seu progresso. Esta edição é parte do plano OBMEP no app.
Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua, graduada em centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?
3 cm
3,4 cm
3,6 cm
4 cm
4,4 cm
Por leitura direta da figura, vemos que uma extremidade do selo está na marca de 20 cm e a outra na marca de 16,6 cm. O comprimento do selo é a diferença entre estes dois valores, ou seja, 20 − 16,6 = 20,0 − 16,6 = 3,4 cm.
As duas peças de madeira a seguir são iguais.
Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte exemplo.
Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as duas peças dadas?
Os desenhos abaixo mostram como juntar as duas peças para obter as alternativas (A), (B), (C) e (D). Apenas a alternativa (E) não pode ser obtida juntando as duas peças, como se pode verificar diretamente por tentativas.
A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nesta viagem?
10
15
18
25
30
As figuras mostram que o tanque de gasolina do carro continha 3/4 de sua capacidade no momento de partida e 1/4 no momento de chegada. Deste modo, João gastou 3/4 − 1/4 = 1/2 do tanque na viagem. Como o tanque tem capacidade para 50 litros, isto quer dizer que João gastou 50 × 1/2 = 25 litros de gasolina na viagem. Note que esta última conta pode ser pensada como “João gastou meio tanque de gasolina e a metade de 50 é 25”.
A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 90. Qual é o maior destes três números?
21
28
29
31
32
Se n é o menor destes números então os outros dois são n + 1 e n + 2. A soma dos três números é n + (n + 1) + (n + 2) = 90. Logo 3_n_ + 3 = 90, donde 3_n_ = 87 e segue que n = 29. Logo os números são 29, 30 e 31 e o maior é 31.
As questões 5 e 6 referem-se ao Campeonato Brasileiro de Futebol 2005.
O campeonato 2005 é disputado por 22 times. Cada time enfrenta cada um dos outros duas vezes, uma vez em seu campo e outra no campo do adversário. Quantas partidas serão disputadas por cada time?
40
41
42
43
44
Como há 22 times no campeonato e cada time só não enfrenta a si próprio, então ele joga 21 vezes (com os outros 21 times) em seu campo e mais 21 vezes nos campos dos adversários. No total cada time disputa 21 + 21 = 42 partidas.
As questões 5 e 6 referem-se ao Campeonato Brasileiro de Futebol 2005.
Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Até hoje cada time já disputou 20 jogos. Se um desses times venceu 8 jogos e perdeu outros 8 jogos, quantos pontos ele tem até agora?
23
25
26
27
28
Como o time disputou 20 jogos, venceu 8 e perdeu 8, o número de empates é: 20 − 8 − 8 = 4. Logo, o time obteve 8 × 3 = 24 pontos com as vitórias e 4 × 1 = 4 pontos com os empates. Portanto, o time obteve 24 + 4 = 28 pontos (o time não ganha pontos quando perde).
Vinte pessoas resolveram alugar um barco por R$ 200,00, quantia que seria dividida igualmente entre todos. No dia do passeio algumas pessoas desistiram. Por causa disso, cada participante do passeio teve que pagar R$ 15,00 a mais. Quantas pessoas desistiram do passeio?
10
11
12
13
14
Inicialmente a quantia de 200 reais deveria ser dividida igualmente entre as 20 pessoas e assim cada uma deveria pagar 200 ÷ 10 = 20 reais. De acordo com o enunciado, a quantia paga por cada pessoa que participou do passeio foi 10 + 15 = 25 reais. Logo, participaram do passeio, 200 ÷ 25 = 8 pessoas, e concluímos que 20 − 8 = 12 pessoas desistiram do passeio.
Quantos números inteiros, múltiplos de 3, existem entre 1 e 2 005?
664
665
667
668
669
Os múltiplos de 3 maiores do que 1 e menores do que 2005 são os números 3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, ..., 3 × n onde 3 × n é o maior múltiplo de 3 menor do que 2005. Usando o algoritmo da divisão, podemos escrever 2005 = 3 × 668 + 1 e segue que n = 668.
Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 000 a 9 999. Marcelo comprou todos os bilhetes nos quais o algarismo sete aparece exatamente três vezes e o zero não aparece. Quantos bilhetes Marcelo comprou?
32
36
45
46
48
Os números nos bilhetes comprados por Marcelo são da forma 777X, 77X7, 7X77 ou X777, onde X representa algum dos oito algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9. Em cada um desses casos, há 8 possibilidades para os números dos bilhetes. Por exemplo, no primeiro caso, temos os seguintes oito números: 7771, 7772, 7773, 7774, 7775, 7776, 7778 e 7779. Portanto, o número de bilhetes comprados por Marcelo é 4 × 8 = 32.
Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
90°
120°
135°
150°
165°
Às 12h 30min o ponteiro dos minutos deu meia volta no relógio a partir do número 12 do mostrador, ou seja, percorreu 360° ÷ 2 = 180°. Os números 1, 2, 3, ... ,12 do mostrador do relógio dividem a circunferência em doze ângulos iguais, cada um com 360° ÷ 12 = 30°. Logo, a cada hora, o ponteiro das horas (o menor) percorre um ângulo de 30°; em meia-hora este ponteiro percorre então 30° ÷ 2 = 15°. Logo, o ângulo formado pelos dois ponteiros é 180° − 15° = 165°.
Para testar a qualidade de um combustível composto apenas de gasolina e álcool, uma empresa recolheu oito amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra foi determinado o percentual de álcool e o resultado é mostrado no gráfico abaixo. Em quantas dessas amostras o percentual de álcool é maior que o percentual de gasolina?
1
2
3
4
5
As amostras cujo percentual de álcool é maior que o de gasolina são aquelas que contêm mais de 50% de álcool. No gráfico, estas amostras correspondem àquelas cuja barra horizontal ultrapassa a marca de 50%, que são as amostras 1, 2 e 3.
Uma caixa contém somente bolas azuis, verdes e brancas. O número de bolas brancas é o dobro do número de bolas azuis. Se colocarmos 10 bolas azuis e retirarmos 10 bolas brancas, a caixa passará a conter o mesmo número de bolas de cada cor. Quantas bolas a caixa contém?
30
40
60
80
90
Se denotarmos por x o número de bolas azuis, então o número de bolas brancas é 2_x_. Além disso temos x + 10 = 2_x_ − 10 = y, onde y denota o número de bolas verdes. De x + 10 = 2_x_ − 10 obtemos x = 20, donde y = 20 + 10 = 30. Portanto temos 20 bolas brancas, 40 bolas azuis e 30 bolas verdes. Assim, no total há 20 + 40 + 30 = 90 bolas na caixa.
Para uma atividade com sua turma, uma professora distribuiu 100 cadeiras em volta de uma grande mesa redonda e numerou-as consecutivamente de 1 a 100. A professora, que é muito caprichosa, colocou as cadeiras voltadas para o centro da mesa, mantendo a mesma distância entre cada cadeira e suas duas vizinhas. Qual é o número da cadeira que ficou exatamente à frente da cadeira com o número 27?
76
77
78
79
80
Observe a figura, onde x indica o número da cadeira oposta à cadeira de número 27.
Como as 100 cadeiras estão regularmente espaçadas, nos espaços entre as cadeiras 27 e x estão as outras 98 cadeiras; assim, em cada um destes espaços, temos 49 cadeiras. Logo o número da cadeira x é 27 + 49 + 1 = 77.
As duas figuras a seguir são formadas por cinco quadrados iguais.
Observe que elas possuem eixos de simetria, conforme assinalado a seguir.
As figuras abaixo também são formadas por cinco quadrados iguais. Quantas delas possuem pelo menos um eixo de simetria?
3
4
5
6
7
Abaixo estão indicadas as 4 figuras que possuem um ou mais eixos de simetria.
O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BÂC mede 30°. O triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DĈA.
45°
50°
60°
75°
90°
A soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180°. Como o ângulo  do triângulo ABC mede 30°, a soma dos ângulos AB̂C e AĈB é 180° − 30° = 150°. Por outro lado, como o triângulo é isósceles de base BC, os ângulos AB̂C e AĈB são iguais, logo cada um deles mede 150° ÷ 2 = 75°. Como o triângulo BCD é isósceles de base BD, temos BD̂C = CB̂D = 75°. O mesmo raciocínio usado acima mostra que DĈB = 180° − 2 × 75° = 30°. Segue que DĈA = AĈB − DĈB = 75° − 30° = 45°.
Distribuímos os números inteiros positivos em uma tabela com cinco colunas, conforme o seguinte padrão.
Continuando a preencher a tabela desta maneira, qual será a coluna ocupada pelo número 2 005?
coluna A
coluna B
coluna C
coluna D
coluna E
Como o padrão de distribuição dos números pelas colunas se repete de 15 em 15, na coluna E estarão os múltiplos de 15. O algoritmo da divisão nos diz que 2005 = 133 × 15 + 10 = 1995 + 10. Logo 1995 ocupará a coluna E, e para alcançarmos 2005 faltam mais 10 números (de 1996 a 2005) para serem colocados na tabela. Colocando esses números na tabela de acordo com o padrão, verificamos que 2005 ocupará a coluna D.
Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se colocarmos 9 laranjas num prato da balança, quantos abacates devemos colocar no outro prato, para equilibrar a balança?
1
2
4
5
6
Denotemos por a, b e l os pesos do abacate, da banana e da laranja respectivamente. Do enunciado temos 4_a_ = 9_b_ e 3_b_ = 2_l_. Logo 4_a_ = 3 × 3_b_ = 3 × 2_l_ = 6_l_. Segue que 2_a_ = 3_l_ e daí 6_a_ = 9_l_.
Dois meses atrás o prefeito de uma cidade iniciou a construção de uma nova escola. No primeiro mês foi feito 1/3 da obra e no segundo mês mais 1/3 do que faltava. A que fração da obra corresponde a parte ainda não construída da escola?
1/3
4/9
1/2
2/3
5/6
No primeiro mês foi construído 1/3 da escola, restando assim 1 − 1/3 = 2/3 da escola para serem construídos. Logo, no segundo mês foi construído 1/3 dos 2/3 restantes, isto é, 1/3 × 2/3 = 2/9 da escola. Portanto, nos dois meses foram construídos 1/3 + 2/9 = 5/9 da escola, e falta construir 1 − 5/9 = 4/9 da escola.
A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é a área do polígono ABCG?
36 cm2
37 cm2
38 cm2
39 cm2
40 cm2
A área pedida é igual à área do polígono ABCDEF menos a soma das áreas dos triângulos retângulos AEF e DEG. A área do triângulo AEF é (AF × EF)/2 = (3 × 2)/2 = 3 cm2.
Vamos agora calcular a área do triângulo DEG. Para calcular DE prolongamos EF até o ponto H, obtendo assim os retângulos ABHF e CDEH. Como os lados opostos de um retângulo são iguais, segue que DE = CH = CB − BH = 6 − AF = 6 − 3 = 3. Como os lados AF e DE são paralelos, então EÂF = GÊD. Além disso AF = ED, logo os triângulos AEF e DEG são congruentes (caso ALA) e portanto, têm a mesma área. A área do retângulo ABHF é AD × AF = 8 × 3 = 24 cm2, e a do retângulo CDEH é DE × CD = 3 × (AB − EF) = 3 × (8 − 2) = 18 cm2. Portanto a área procurada é 24 + 18 − 2 × 3 = 36 cm2. Alternativamente, a área do trapézio ABCG cuja altura é BC = 6 e cuja as bases são AB = 8 e CG = CD − GD = 6 − 2 = 4 pode ser calculada diretamente. Portanto a área é ((8 + 4)/2) × 6 = 36 cm2.
Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afirmações:
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para o número de bolas dentro da caixa?
1
5
11
13
16
Acompanhe a solução com a ajuda da figura a seguir, que ilustra as afirmativas de Regina, Paulo e Iracema.
(i) Se Regina está certa, então Paulo e Iracema estão errados. Os números que satisfazem a afirmação de Regina mas não satisfazem a afirmação de Paulo são 101, 102, 103, 104 e 105; note que estes números também não satisfazem a afirmação de Iracema. Neste caso temos 5 possibilidades para o número de bolas na caixa.
(ii) Se Paulo está certo, então Regina e Iracema estão erradas. O único número que satisfaz as opções de Paulo e não satisfaz as de Regina e Iracema é 120. Aqui, temos apenas uma possibilidade para o número de bolas na caixa.
(iii) Se Iracema está certa, então Paulo e Regina estão errados. Os números que satisfazem a afirmação de Iracema mas não satisfazem a afirmação de Paulo são 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139; note que estes números também não satisfazem a afirmação de Regina. Neste caso, temos 10 possibilidades para o número de bolas na caixa. Finalmente, o número total de possibilidades é a soma do número de possibilidades nos casos (i), (ii) e (iii), que é 5 + 1 + 10 = 16.
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