Fuvest · Matemática

Questões de Trigonometria da Fuvest

19 questões oficiais da Fuvest sobre Trigonometria, de 2008 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 13 médias, 6 difíceis.

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4 questões de Trigonometria resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2025 · Questão 52média

As enchentes ocorridas no Rio Grande do Sul, em maio de 2024, prejudicaram a infraestrutura de comunicação. A população afetada era informada sobre as notícias relativas às enchentes ao sintonizar, por rádio de pilhas, frequências de onda AM, cujo alcance é maior.

Uma onda AM é modelada matematicamente por equações que envolvem a função cosseno, cuja variável independente é o tempo t, que aparece multiplicado pela frequência f da onda.

Como exemplo, pode-se considerar a equação referente ao processo de modulação de uma onda AM:

s(t) = A [1 + k m(t)] cos(2π f t),

em que A é a amplitude, f a frequência, k a constante da sensibilidade à amplitude e m(t) o sinal que contém a informação.

Quando a frequência f é multiplicada por 3, o comprimento da onda sofre alteração. Por causa dessa multiplicação, qual transformação ocorre no gráfico da função cosseno original?

A
Expansão vertical.
B
Translação horizontal.
C
Expansão horizontal.
D
Contração horizontal.
E
Contração vertical.

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Gabarito: D

Na função cos(2π f t), o período (tempo de uma oscilação completa) é T = 1/f.

Se a frequência passa a ser 3f, o período fica 1/(3f), ou seja, três vezes menor. A curva completa um ciclo num intervalo 3 vezes mais curto: o gráfico é "espremido" na direção do eixo t. Isso é uma contração horizontal (de fator 1/3).

A amplitude, ligada ao valor máximo de |cos|, não muda: não há expansão nem contração vertical. Também não há deslocamento do gráfico, pois nada foi somado a t.

Resposta: D

Por que as outras atraem: a C (expansão horizontal) é o erro de pensar que "multiplicar por 3 aumenta"; multiplicar a variável por 3 encolhe o gráfico.

Dica: em f(k·x), com k > 1, o gráfico se contrai horizontalmente; em k·f(x), ele se expande verticalmente.

Questão 2 · Fuvest 2024 · Questão 49média

No Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acordo com o código, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabela:

Tabela: Dimensões das vagas de estacionamento em função do tipo de veículo (medidas em metros).

Código de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo. Adaptado.

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo α de medida 60°.

Observação: A imagem não está em escala.

Após a vaga da moto, restou um espaço na garagem. Os responsáveis pela obra estão avaliando a possibilidade de colocar algum objeto que possa ser utilizado pelos condôminos do edifício. Qual a medida do segmento destacado (tracejado) nesse espaço?

A
0,75 m
B
1,15 m
C
1,25 m
D
2,20 m
E
2,25 m

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Gabarito: C

1. Projeção horizontal da vaga de automóvel

O lado inclinado da vaga é o comprimento (4,50 m), com ângulo de 60° com a horizontal. A última linha inclinada vai do chão até o canto da parede, então a distância horizontal entre seu pé e a parede é:

4,50 × cos 60° = 4,50 × 0,5 = 2,25 m

2. Vaga da moto

A vaga da moto começa no pé dessa mesma linha e ocupa, no chão, a sua largura: 1,00 m (o lado inclinado de 2,00 m é o comprimento).

3. Segmento tracejado

2,25 − 1,00 = 1,25 m

Resposta: C

Por que as outras atraem: E (2,25 m) é a projeção inteira, sem descontar a moto; D (2,20 m) é a largura do automóvel.

Dica: em vagas inclinadas, decomponha o lado inclinado com o cosseno para achar quanto ele ocupa na horizontal.

Questão 3 · Fuvest 2013 · Questão 23média

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre

275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são

A
junho; 7º.
B
dezembro; 7º.
C
junho; 23º.
D
dezembro; 23º.
E
junho; 0,3º.

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Gabarito: A

Mês. O Egito fica no Hemisfério Norte, onde o solstício de verão ocorre em junho (por volta de 21 de junho). Isso elimina B e D.

Ângulo. Os raios de sol chegam paralelos. Na figura, o ângulo θ entre o bastão e o raio de sol em Alexandria é igual ao ângulo central, no centro da Terra, entre Alexandria e Assuã.

Arco = raio × ângulo (em radianos):
θ = 900 km ÷ 7500 km = 0,12 rad

Convertendo com π = 3 (π rad = 180°):
θ = 0,12 × 180 ÷ 3 = 7,2° ≈ 7°

Resposta: A (junho; 7°).

Por que as outras atraem: 23° lembra a inclinação do eixo da Terra (23,5°), que não entra nesta conta.

Dica: comprimento de arco = R × θ só vale com θ em radianos. Calcule em radianos e converta no fim.

Questão 4 · Fuvest 2009 · Questão 74média

Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo Â mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a

A
25
B
45
C
75
D
105
E
125

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Gabarito: D

1. Lados em PA: com perímetro 15, os lados são 5 − r, 5 e 5 + r (r > 0).

2. Lado oposto a Â: o ângulo de 120° é o maior do triângulo, então fica oposto ao maior lado, 5 + r.

3. Lei dos cossenos (cos 120° = −1/2):

(5 + r)² = (5 − r)² + 5² − 2 · 5 · (5 − r) · (−1/2)

25 + 10r + r² = 25 − 10r + r² + 25 + 25 − 5r

25r = 50 → r = 2.

4. Lados: 3, 5 e 7. Produto: 3 × 5 × 7 = 105.

Resposta: D (105).

Por que as outras atraem: quem coloca o 120° oposto ao lado do meio ou usa cos 120° = +1/2 chega a valores sem sentido ou a 125 (triângulo equilátero 5, 5, 5).

Dica: em PA de três termos, use x − r, x, x + r: a soma dá 3x e já fixa o termo do meio.