Questões de Sequências e progressões (PA e PG) da Fuvest

Pelas figuras:

• n-ésimo triangular: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 (1, 3, 6, 10…);
• n-ésimo oblongo: n linhas e n + 1 colunas = n(n + 1) (2, 6, 12, 20…).

Teste cada alternativa:

• A: o 15º triangular é 15 × 16/2 = 120, não 162.
• B: o 13º triangular é 13 × 14/2 = 91 = 7 × 13, que não é primo. (Além disso, n(n + 1) é sempre par.)
• C: 156 = 12 × 13, é o 12º oblongo.
• D: 210 = 20 × 21/2 (20º triangular) e 210 = 14 × 15 (14º oblongo). Verdadeira.
• E: a diferença entre triangulares consecutivos é n + 1 (2, 3, 4, …), uma progressão aritmética, não geométrica.

Resposta: D

Dica: todo oblongo é o dobro de um triangular (n(n + 1) = 2 × n(n + 1)/2); para testar se um número é oblongo, procure dois inteiros consecutivos cujo produto dê esse número.

As parcelas formam uma PA com a₁ = 120 e razão r = 6.

1. Última parcela: a₂₄ = 120 + 23 × 6 = 258

2. Soma das 24 parcelas: S = 24 × (120 + 258) ÷ 2 = 12 × 378 = 4.536

3. Parcela não paga: a₁₉ = 120 + 18 × 6 = 228

4. Valor pago: 4.536 − 228 = R$ 4.308,00

Por que as outras atraem: errar o índice do termo geral (usar n em vez de n − 1) muda a₂₄ e a₁₉ e leva a valores próximos.

Resposta: D

Dica: na PA, a_n = a₁ + (n − 1) r e S_n = n (a₁ + a_n) ÷ 2.

Os custos de cada metro formam uma PA: a₁ = 1000 e razão r = 200.

1. Soma dos n primeiros termos:
S_n = n × [2a₁ + (n − 1)r] ÷ 2 = n × [2000 + 200(n − 1)] ÷ 2 = n(900 + 100n)

2. Igualar ao custo total:
n(900 + 100n) = 48 600 → 100n² + 900n − 48 600 = 0 → n² + 9n − 486 = 0

Δ = 81 + 1944 = 2025 → √Δ = 45 → n = (−9 + 45) ÷ 2 = 18.

Conferindo: o 18º metro custa 1000 + 17 × 200 = 4400; S = 18 × (1000 + 4400) ÷ 2 = 48 600 ✔.

Resposta: B

Dica: na soma de PA, S = n × (primeiro + último) ÷ 2; testar as alternativas com essa fórmula costuma ser mais rápido que resolver a equação.

Cada volta é uma circunferência. Pelo enunciado, a cada volta o raio externo do rolo aumenta 0,01 cm.

1. Raios das voltas

1ª volta: 3,01 cm; 2ª: 3,02 cm; ...; 100ª: 4,00 cm. É uma PA de razão 0,01.

2. Soma dos raios

S = (3,01 + 4,00) × 100 / 2 = 7,01 × 50 = 350,5 cm

3. Comprimento

L = 2π × 350,5 ≈ 2 × 3,14 × 350,5 ≈ 2 201 cm ≈ 22,0 m

(Se usar o raio 3,00 para a 1ª volta, dá 2π × 350 ≈ 21,98 m: a resposta é a mesma.)

Resposta: D

Por que as outras atraem: (C) 18,8 m usa raio fixo de 3 cm (100 × 2π × 3); (B) 11,0 m usa π·r em vez de 2π·r.

Dica: rolos, espirais e voltas sucessivas costumam virar uma PA; a soma é (primeiro + último) × quantidade ÷ 2.

1. Quantas folhas

Cada operação coloca tantas folhas quantas já existem: a pilha dobra.

• 1ª operação: 1 folha
• 2ª: 1 + 1 = 2
• 3ª: 2 + 2 = 4
• n-ésima: 2ⁿ⁻¹ folhas

Depois de 33 operações: 2³² folhas.

2. Estimando 2³²

2¹⁰ = 1024 ≈ 10³, então 2³² = 4 × 2³⁰ ≈ 4 × 10⁹ folhas.

3. Altura

4 × 10⁹ × 0,1 mm = 4 × 10⁸ mm = 4 × 10⁵ m ≈ 400 km

É a ordem da distância entre São Paulo e Rio de Janeiro (cerca de 400 km).

• A, B, C (metros a poucos quilômetros) subestimam o crescimento exponencial.
• E: o diâmetro da Terra é cerca de 12.700 km, 30 vezes mais.

Resposta: D

Dica: 2¹⁰ ≈ 10³ é o atalho para estimar qualquer potência de 2.

1. Soma dos ângulos internos do hexágono: S = (6 − 2) × 180° = 720°.

2. PA de 6 termos. A soma é (a₁ + a₆) × 6/2 = 720 → a₁ + a₆ = 240.
Com a₆ = 11a₁: 12a₁ = 240 → a₁ = 20° e a₆ = 220°.

3. Razão: a₆ = a₁ + 5r → 220 = 20 + 5r → r = 40°.
Ângulos: 20°, 60°, 100°, 140°, 180°, 220°.

4. Quatro menores: 20 + 60 + 100 + 140 = 320°.
(Outro caminho: 720 − 180 − 220 = 320.)

Resposta: B (320).

Observação: com esses dados, os dois maiores ângulos seriam 180° e 220°, o que não é possível num polígono convexo (todos os ângulos internos são menores que 180°). A conta pedida, porém, leva a 320.

Dica: soma dos ângulos internos de um polígono de n lados: (n − 2) × 180°.