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Questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos da Fuvest

11 questões oficiais da Fuvest sobre Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos, de 2007 a 2021, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 9 médias, 2 difíceis.

Treine Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos com 11 questões da Fuvest

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2 questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2019 · Questão 52média

Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com formato de paralelepípedos reto-retângulos) que têm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme indicação da figura.

Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do outro prédio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m uma da outra, a área total dessa lona seria de

A
300 m²
B
360 m²
C
600 m²
D
720 m²
E
1.200 m²

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Gabarito: C

Na figura, A e B são os cantos do topo da parede lateral do prédio alto (largura 28 m) e C e D, os do topo da parede do prédio baixo (largura 20 m). Como as paredes são paralelas, AB e CD são paralelos: a lona é um trapézio de bases 28 m e 20 m.

1. Altura do trapézio

A distância entre as bases é a hipotenusa de um triângulo retângulo com:

desnível entre os topos: 80 − 60 = 20 m
distância entre as paredes: 15 m

h = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25 m

2. Área

A = (28 + 20) ÷ 2 × 25 = 24 × 25 = 600 m²

B (360 m²): usa 15 m como altura, esquecendo o desnível.
A (300 m²): usa metade da altura.
E (1.200 m²): esquece de dividir a soma das bases por 2.

Resposta: C

Dica: em figuras espaciais, a altura de uma face inclinada sai de um triângulo retângulo com o desnível e o afastamento; 15-20-25 é o 3-4-5 multiplicado por 5.

Questão 2 · Fuvest 2007 · Questão 33média

A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale

A
6/5
B
5/4
C
4/3
D
7/5
E
3/2

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Gabarito: B

No retângulo, AB = 5, BC = AD = 3, e CE = 1 com E em CD.

1. Semelhança. AB é paralelo a CE, então os triângulos FAB e FCE são semelhantes, com razão AB ÷ CE = 5 ÷ 1. As alturas de F até AB e até CD estão na razão 5 : 1 e somam 3:
altura de F até CD = 3 × 1/6 = 0,5

2. Área de BCE. Triângulo retângulo com catetos CE = 1 e BC = 3:
1 × 3 ÷ 2 = 1,5

3. Área de CEF. Base CE = 1 e altura 0,5:
1 × 0,5 ÷ 2 = 0,25

4. Área de BCF. BCF = BCE − CEF = 1,5 − 0,25 = 1,25 = 5/4

Resposta: B (5/4).

Dica: diagonal cruzando segmento entre lados paralelos forma triângulos semelhantes ("borboleta"); a razão entre os lados paralelos divide as alturas.