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Fuvest · Matemática

Questões de Probabilidade da Fuvest

10 questões oficiais da Fuvest sobre Probabilidade, de 2009 a 2020, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 6 médias, 2 difíceis.

Treine Probabilidade com 10 questões da Fuvest

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6 questões de Probabilidade resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2020 · Questão 13fácil

Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

Imagem da questãoImagem da questão

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

  1. A

    0,120.

  2. B

    0,216.

  3. C

    0,264.

  4. D

    0,336.

  5. E

    0,384.

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Gabarito: E

Para chegar a F há dois caminhos de entrada: pela cidade C (seta 0,6) e pela cidade D (seta 0,3).

1. Probabilidade de passar por C

A → C direto: 0,2
A → B → C: 0,8 × 0,1 = 0,08
Total: 0,28

C → F: 0,28 × 0,6 = 0,168

2. Probabilidade de passar por D

A → B → D: 0,8 × 0,9 = 0,72
D → F: 0,72 × 0,3 = 0,216

3. Total

0,168 + 0,216 = 0,384

Resposta: E

Por que as outras atraem: (B) 0,216 é só o caminho por D; (A) 0,120 é só A → C → F, esquecendo o caminho A → B → C.

Dica: em árvores de probabilidade, multiplique ao longo de cada caminho e some os caminhos que chegam ao mesmo destino.

Questão 2 · Fuvest 2019 · Questão 55difícil

Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

Imagem da questão

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

  1. A

    1/9

  2. B

    17/81

  3. C

    1/3

  4. D

    51/125

  5. E

    125/243

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Gabarito: B

1. Total de sequências

Cada rodada tem 3 resultados: 35 = 243 sequências igualmente prováveis.

2. Sequências que terminam em zero

Para voltar ao zero, o número de passos à direita (D) tem de ser igual ao de passos à esquerda (E); o resto são paradas (P).

  • 0 D, 0 E, 5 P: 1 sequência
  • 1 D, 1 E, 3 P: 5!/(1! · 1! · 3!) = 20
  • 2 D, 2 E, 1 P: 5!/(2! · 2! · 1!) = 30

(3 D e 3 E exigiria 6 rodadas.)

Total favorável: 1 + 20 + 30 = 51

3. Probabilidade

51/243 = 17/81 (dividindo por 3)

  • D (51/125): acerta os 51 casos mas usa 53 no denominador.
  • C (1/3): supõe que cada posição final é igualmente provável.

Resposta: B

Dica: para contar sequências com repetições, use permutação com repetição: n!/(a! · b! · c!).

Questão 3 · Fuvest 2015 · Questão 53média

Imagem da questão

De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

  1. A

    1/130

  2. B

    1/420

  3. C

    10/1771

  4. D

    25/7117

  5. E

    52/8117

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Gabarito: C

1. Quantas cartas de ouros sobraram no baralho: 7 − 2 = 5 ouros entre as 23 cartas.

2. Casos favoráveis: as três cartas novas precisam ser todas de ouros: C(5, 3) = 10.

3. Casos possíveis: C(23, 3) = (23 × 22 × 21)/6 = 1771.

4. Probabilidade: 10/1771.

Conferindo pelo produto: 5/23 × 4/22 × 3/21 = 60/10626 = 10/1771.

Resposta: C

Dica: "escolher ao acaso k cartas" = combinações; favoráveis e possíveis com C(n, k).

Questão 4 · Fuvest 2014 · Questão 44média

Imagem da questão

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

  1. A

    1/3

  2. B

    5/12

  3. C

    17/36

  4. D

    1/2

  5. E

    19/36

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Gabarito: C

São 6 × 6 = 36 resultados igualmente prováveis (dado 1, dado 2).

1. Valores iguais (duplas). O avanço é o dobro da soma: (k,k) dá 4k. Precisa 4k ≥ 8 → k ≥ 2. Servem (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6): 5 casos.

2. Valores diferentes. O avanço é a soma, que precisa ser ≥ 8, sem contar as duplas:
- soma 8: (2,6), (6,2), (3,5), (5,3) → 4
- soma 9: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) → 4
- soma 10: (4,6), (6,4) → 2
- soma 11: (5,6), (6,5) → 2
- soma 12: só (6,6), que é dupla → 0
Total: 12 casos.

3. Probabilidade. (5 + 12)/36 = 17/36.

Resposta: C

Por que as outras atraem: 5/12 = 15/36 é a chance de soma ≥ 8 sem a regra das duplas; 19/36 conta (4,4), (5,5) e (6,6) duas vezes.

Dica: quando a regra muda para alguns resultados, separe os casos (duplas e não duplas) e conte cada grupo sem repetir.

Questão 5 · Fuvest 2012 · Questão 69média

Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos?

  1. A

    49/144

  2. B

    14/33

  3. C

    7/22

  4. D

    5/22

  5. E

    15/144

Ver gabarito e resolução

Gabarito: C

1. Quem é inseto? Insetos têm 3 pares de patas e corpo dividido em cabeça, tórax e abdome: besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto (5).
Não insetos (7): aranha, ácaro, carrapato e escorpião (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).

2. Probabilidade. São 12 artrópodes e escolhem-se 2 distintos:
P = (7/12) × (6/11) = 42/132 = 7/22.
(Ou: C(7,2)/C(12,2) = 21/66 = 7/22.)

Resposta: C (7/22).

Por que as outras atraem: 49/144 (A) aparece se o mesmo artrópode pudesse ser escolhido duas vezes (7/12 × 7/12); 15/144 erra a classificação dos insetos.

Dica: "dois distintos" = sem reposição: o segundo sorteio tem um elemento a menos no total e entre os favoráveis.

Questão 6 · Fuvest 2009 · Questão 80fácil

Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de

  1. A

    2/9

  2. B

    1/3

  3. C

    4/9

  4. D

    5/9

  5. E

    2/3

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Gabarito: A

1. Total de resultados: 6 × 6 = 36, todos equiprováveis.

2. Pares consecutivos e soma prima:

  • 1 e 2 → 3 (primo) ✔
  • 2 e 3 → 5 (primo) ✔
  • 3 e 4 → 7 (primo) ✔
  • 4 e 5 → 9 (não é primo)
  • 5 e 6 → 11 (primo) ✔

São 4 pares, e cada um aparece em duas ordens (por exemplo, (1, 2) e (2, 1)): 8 resultados favoráveis.

3. Probabilidade: 8/36 = 2/9.

Resposta: A (2/9).

Por que as outras atraem: quem conta cada par uma vez só chega a 4/36 = 1/9, que não está nas alternativas e leva a chutes.

Dica: com dois dados, os resultados são pares ordenados; (1, 2) e (2, 1) são casos diferentes.