Fuvest · Matemática

Questões de Geometria plana (áreas e perímetros) da Fuvest

14 questões oficiais da Fuvest sobre Geometria plana (áreas e perímetros), de 2007 a 2023, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 8 médias, 4 difíceis.

Treine Geometria plana (áreas e perímetros) com 14 questões da Fuvest

Escolha o nível e treine só este assunto, com correção na hora e o seu progresso salvo. O treino por assunto faz parte do plano da prova.

Treinar Geometria plana (áreas e perímetros)

6 questões de Geometria plana (áreas e perímetros) resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2023 · Questão 88média

Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

A notação que representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

A
(3 . 3 . 3 . 4)
B
(3 . 3 . 4 . 6)
C
(3 . 4 . 4 . 4)
D
(3 . 4 . 4 . 6)
E
(3 . 4 . 6 . 4)

Ver gabarito e resolução

Gabarito: E

Na foto, escolha um vértice qualquer e veja os polígonos em volta dele. Há:

um triângulo (as peças escuras),
um quadrado (branco),
um hexágono (vermelho),
outro quadrado (branco).

Ou seja, em cada vértice aparecem um triângulo, um quadrado, um hexágono e um quadrado, nessa ordem. Começando pelo polígono de menos lados e girando no sentido anti-horário: (3 . 4 . 6 . 4).

Conferindo os ângulos: 60° + 90° + 120° + 90° = 360°. O padrão fecha o plano.

Resposta: E

Por que as outras atraem: D usa os mesmos polígonos (3, 4, 4, 6), mas em ordem diferente, com os dois quadrados juntos, o que não acontece na foto: entre os quadrados há sempre o triângulo de um lado e o hexágono do outro.

Dica: em ladrilhamentos, confira a soma dos ângulos internos em volta do vértice (360°) e observe a ordem dos polígonos, não só quais aparecem.

Questão 2 · Fuvest 2022 · Questão 39difícil

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

O comprimento da fita, em metros, é:

A
20π + 30(3 + √2)
B
20π + 30(4 + √2)
C
25π + 15(4 + √2)
D
25π + 30(4 + √2)
E
25π + 30(4 + 2√2)

Ver gabarito e resolução

Gabarito: B

A fita é formada por trechos retos (tangentes comuns aos tanques) e arcos de circunferência.

1. Arcos. Ao dar uma volta completa em torno de um contorno convexo, a fita gira 360° no total. Somando todos os arcos, obtém-se exatamente uma circunferência de raio 10 m:
2π × 10 = 20π m

2. Trechos retos. Cada trecho reto é paralelo ao segmento que liga os centros e tem o mesmo comprimento. Com centros nos vértices (0, 0), (30, 0), (30, 30) e (0, 60):
- base: 30 m;
- lado direito (de (30, 0) a (30, 30)): 30 m;
- diagonal de (30, 30) a (0, 60): 30√2 m;
- lado esquerdo (de (0, 60) a (0, 0)): 60 m.
Total: 30 + 30 + 30√2 + 60 = 120 + 30√2 = 30(4 + √2) m.

3. Comprimento da fita: 20π + 30(4 + √2).

Resposta: B

Dica: uma correia em volta de círculos iguais tem comprimento = perímetro do polígono dos centros + uma circunferência inteira.

Questão 3 · Fuvest 2020 · Questão 16fácil

Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam-se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa-se θ, a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando θ = 90° é A.

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de θ é, necessariamente, igual a

A
15°.
B
22,5°.
C
30°.
D
45°.
E
60°.

Ver gabarito e resolução

Gabarito: C

As hastes não mudam de tamanho: os lados do paralelogramo são sempre a e b.

Com θ = 90°, é um retângulo: A = a · b.
Com ângulo θ, a altura relativa ao lado a é b · sen θ, e a área vira a · b · sen θ = A · sen θ.

Para a área ser A/2:

A · sen θ = A/2 → sen θ = 1/2 → θ = 30°

(θ é o menor ângulo interno, então não pode ser 150°.)

Resposta: C

Dica: área de paralelogramo (ou de triângulo) com dois lados e o ângulo entre eles usa o seno: a · b · sen θ (no triângulo, metade disso).

Questão 4 · Fuvest 2019 · Questão 54difícil

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar-se no solo novamente?

A
(3/2)π
B
((3 + √3)/3)π
C
(13/6)π
D
((3 + √3)/2)π
E
((8 + 2√3)/3)π

Ver gabarito e resolução

Gabarito: C

Pela figura, o ângulo reto está em A: BC = 2 é a hipotenusa e AB = 1 um cateto.

1. Os ângulos

sen C = AB/BC = 1/2 → C = 30°, e então B = 60°, A = 90°.

2. Rotação em torno de C (até A tocar o solo)

O lado CB está no solo; o triângulo gira até CA ficar no solo. O lado CB gira 180° − 30° = 150° = 5π/6.

B descreve um arco de raio CB = 2: comprimento 2 × 5π/6 = 5π/3

3. Rotação em torno de A (até B tocar o solo)

Agora AC está no solo e o triângulo gira até AB ficar no solo: 180° − 90° = 90° = π/2.

Raio AB = 1: comprimento 1 × π/2 = π/2

4. Rotação em torno de B (até C tocar o solo)

B é o centro do giro: não se move. Ao final, BC volta ao solo.

Total: 5π/3 + π/2 = 10π/6 + 3π/6 = 13π/6

Alternativas com √3 usam o cateto AC = √3 como raio, mas B nunca gira em torno de um ponto a √3 dele.

Resposta: C

Dica: num polígono que rola, cada giro em torno de um vértice tem ângulo = 180° − ângulo interno naquele vértice; o raio é a distância do ponto ao vértice-pivô.

Questão 5 · Fuvest 2014 · Questão 39média

Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.

A
1.600 m²
B
1.800 m²
C
2.000 m²
D
2.200 m²
E
2.400 m²

Ver gabarito e resolução

Gabarito: A

O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros com vértice no centro.

1. Apótema. A distância entre lados paralelos é o dobro do apótema (altura de cada triângulo): a = 25 ÷ 2 = 12,5 m.

2. Lado. Num triângulo equilátero de lado ℓ, a altura é ℓ√3/2:
ℓ√3/2 = 12,5 → ℓ = 25/√3 ≈ 25/1,73 ≈ 14,4 m

3. Área de um hexágono. Área = perímetro × apótema ÷ 2:
6 × 14,4 × 12,5 ÷ 2 ≈ 541 m²
(De forma exata: 625√3/2 ≈ 541,3 m².)

4. Piscina. Os lados comuns não somam área extra, então são três hexágonos inteiros: 3 × 541 ≈ 1.624 m², o mais próximo de 1.600 m².

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem toma 25 m como o lado do hexágono, ou usa 25 m como apótema, chega a valores bem maiores.

Dica: no hexágono regular, a distância entre lados opostos vale ℓ√3; a distância entre vértices opostos vale 2ℓ.

Questão 6 · Fuvest 2011 · Questão 4média

Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.

Diagrama referente ao poema ZEN.

Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta.

A
O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética brasileira da década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCJI.
B
O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo semântico da palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas do triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais.
C
O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em sua composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF.
D
O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor que 7/10.
E
Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que utiliza proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6.

Ver gabarito e resolução

Gabarito: B

No diagrama, os segmentos com um tracinho são iguais: AB = BC = CD = AE = a, e a altura do retângulo maior também é a. Os dois tracinhos duplos mostram que I é o ponto médio de FB, então BI = a/2.

Triângulo ABF (retângulo em B): área = a × a ÷ 2 = a²/2.

Retângulo BCJI: área = BC × BI = a × a/2 = a²/2.

As áreas são iguais, e a parte de literatura também está certa: ZEN é uma palavra ligada a equilíbrio e harmonia, e o poema a escreve com formas simétricas.

Por que as outras atraem:
- A e C: perímetro de ABF = a + a + a√2 ≈ 3,41a; perímetro de BCJI = 3a e de BCGF = 4a. Nenhum é igual.
- D: o trapézio ADGF tem lados AD = 3a, DG = a√2, GF = a, FA = a√2, total ≈ 6,83a; o retângulo ADHE tem 8a. A razão é ≈ 0,85, maior que 7/10.
- E: a conta está certa (DHG tem área a²/2, que é 1/6 de ADHE = 3a²), mas Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira não são poetas concretos.

Resposta: B

Dica: em questões interdisciplinares, cada alternativa tem duas partes; ela só vale se as duas estiverem certas.