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Fuvest · Matemática

Questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) da Fuvest

23 questões oficiais da Fuvest sobre Geometria espacial (volumes e sólidos), de 2007 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 4 fáceis, 16 médias, 3 difíceis.

Treine Geometria espacial (volumes e sólidos) com 23 questões da Fuvest

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6 questões de Geometria espacial (volumes e sólidos) resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2026 · Questão 6média

Para uma atividade de campo voltada à valorização do patrimônio histórico e cultural, professores de geografia levaram seus estudantes a um parque temático de monumentos geográficos. Eles visitaram a réplica de uma pirâmide regular de base quadrada com vértice a 18 metros de altura em relação ao centro da base. As faces da pirâmide estão voltadas para as direções norte, sul, leste e oeste. Para acessar o vértice da pirâmide, os estudantes precisaram percorrer uma trilha de pedestre e subir a rampa localizada na face norte. A trilha compreende os lados oeste, sul, leste e metade do lado norte do quadrado. Essa rampa está localizada exatamente no meio da face, ou seja, é o apótema da pirâmide. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 864 m3, quantos metros, aproximadamente, os estudantes tiveram que percorrer para chegar até o topo da pirâmide?

  1. A

    36

  2. B

    41

  3. C

    48

  4. D

    54

  5. E

    61

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Gabarito: E

1. Lado da base

V = (1/3) × L² × h
864 = (1/3) × L² × 18 → L² = 864 ÷ 6 = 144 → L = 12 m

2. Trilha

Lados oeste, sul e leste + metade do norte:
3 × 12 + 6 = 42 m

3. Rampa (apótema da pirâmide)

Triângulo retângulo com a altura (18 m) e metade do lado (6 m):
a = √(18² + 6²) = √(324 + 36) = √360 ≈ 19 m

4. Total

42 + 19 ≈ 61 m

Resposta: E

Dica: apótema da pirâmide² = altura² + (apótema da base)²; na base quadrada, o apótema da base é metade do lado.

Questão 2 · Fuvest 2025 · Questão 75média

Um designer de produtos deseja fabricar um vaso para flores conforme a figura a seguir.

Imagem da questão

Sabe-se que a base e o topo do vaso são uma circunferência de raio R que mede 10 cm, a parte central é uma circunferência de raio r de 5 cm e a medida h mede 12 cm. Qual é a capacidade volumétrica desse vaso em cm3?

  1. A

    1400π

  2. B

    2100π

  3. C

    2400π

  4. D

    2600π

  5. E

    2800π

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Gabarito: A

O vaso é formado por dois troncos de cone iguais: cada um tem bases de raios R = 10 cm e r = 5 cm e altura h = 12 cm.

1. Volume de um tronco

V = (π h ÷ 3) × (R² + R r + r²)
V = (π × 12 ÷ 3) × (100 + 50 + 25) = 4π × 175 = 700π cm³

2. Volume do vaso

2 × 700π = 1400π cm³

Resposta: A

Por que as outras atraem: tratar cada parte como um cilindro de raio 10 dá 2 × 1200π = 2400π (C).

Dica: tronco de cone = cone grande − cone pequeno, ou direto pela fórmula V = π h (R² + R r + r²) ÷ 3.

Questão 3 · Fuvest 2022 · Questão 36média

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler F − A + V = 2, em que F é o número de faces, A é o número de arestas e V é o número de vértices do poliedro.

  1. A

    4

  2. B

    6

  3. C

    8

  4. D

    10

  5. E

    12

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Gabarito: E

1. Arestas em função das faces. Cada face é um triângulo (3 arestas) e cada aresta é compartilhada por 2 faces:
A = 3F ÷ 2

2. Relação de Euler com V = 8:
F − 3F/2 + 8 = 2 → −F/2 = −6 → F = 12 (e A = 18).

Resposta: E

Dica: em poliedros de faces todas iguais, conte as arestas pelas faces (n lados × F ÷ 2) e use Euler; é o caminho padrão.

Questão 4 · Fuvest 2020 · Questão 17fácil

A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm × 4 cm × 4 cm está inscrito tem diâmetro de

  1. A

    9 cm.

  2. B

    10 cm.

  3. C

    11 cm.

  4. D

    12 cm.

  5. E

    15 cm.

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Gabarito: A

A menor esfera que contém o paralelepípedo passa pelos seus 8 vértices. Seu diâmetro é a diagonal do paralelepípedo.

d = √(7² + 4² + 4²) = √(49 + 16 + 16) = √81 = 9 cm

Resposta: A

Por que as outras atraem: (E) 15 cm é a soma das arestas; (C) 11 cm é 7 + 4.

Dica: diagonal de bloco retangular de arestas a, b, c: √(a² + b² + c²).

Questão 5 · Fuvest 2019 · Questão 51média

A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto-retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

Imagem da questão
  1. A

    2,1 m3

  2. B

    2,3 m3

  3. C

    3,0 m3

  4. D

    4,2 m3

  5. E

    6,0 m3

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Gabarito: A

Divida a escada maciça em colunas verticais, uma sob cada degrau.

1. Cada coluna

Base: 20 cm × 50 cm = 1.000 cm². A coluna do 1º degrau tem 10 cm de altura, a do 2º tem 20 cm, e a do k-ésimo tem 10k cm.

2. Soma das alturas (20 degraus)

10 × (1 + 2 + … + 20) = 10 × (20 × 21 ÷ 2) = 10 × 210 = 2.100 cm

3. Volume

V = 1.000 cm² × 2.100 cm = 2.100.000 cm³

Como 1 m³ = 1.000.000 cm³: V = 2,1 m³

  • D (4,2 m³): soma 20 × 21 sem dividir por 2.

Resposta: A

Dica: volume de escada maciça = área da base de um degrau × soma das alturas das colunas, uma progressão aritmética.

Questão 6 · Fuvest 2017 · Questão 88média

Imagem da questão

Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,

Imagem da questão
  1. A

    4 horas e 50 minutos.

  2. B

    5 horas e 20 minutos.

  3. C

    5 horas e 50 minutos.

  4. D

    6 horas e 20 minutos.

  5. E

    6 horas e 50 minutos.

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Gabarito: C

A base está no chão, então a água enche a parte de baixo, a mais larga. O que fica seco é o cone pequeno do topo.

1. Volume total (r = 4 m, h = 12 m):
V = (1/3) × π × 4² × 12 = 64π m³

2. Cone de cima (altura 6 m, metade da original): razão de semelhança 1/2, volume (1/2)³ = 1/8 do total:
64π ÷ 8 = 8π m³

3. Volume de água: 64π − 8π = 56π ≈ 56 × 3,14 ≈ 175,84 m³ = 175.840 L

4. Tempo: 175.840 ÷ 500 ≈ 352 min ≈ 5 h 52 min, isto é, cerca de 5 horas e 50 minutos.

Resposta: C

Por que as outras atraem: quem pensa que a água ocupa o cone pequeno (8π m³) chega a menos de 1 hora; quem usa metade do volume (32π) chega a cerca de 3 h 20 min.

Dica: em sólidos semelhantes, volumes seguem o cubo da razão de semelhança. Veja sempre qual parte o líquido ocupa.