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Fuvest · Matemática

Questões de Geometria analítica da Fuvest

17 questões oficiais da Fuvest sobre Geometria analítica, de 2008 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 2 fáceis, 13 médias, 2 difíceis.

Treine Geometria analítica com 17 questões da Fuvest

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4 questões de Geometria analítica resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2025 · Questão 17média

A imagem a seguir mostra um cruzamento da Rua da Consolação, na região central da cidade de São Paulo, em que há faixas de pedestre em diferentes direções. Essas faixas agilizam a travessia das ruas. Uma pessoa parte do ponto O e deseja chegar ao ponto C. Para tanto, percorre o trajeto pela faixa que liga O a B e, em seguida, utiliza a faixa que liga B a C. Considere que as coordenadas dos pontos indicados na figura, em metros, são: O(0,0), B(13,-15) e C(29,-8).

Imagem da questão

Seja d a distância, em metros, que essa pessoa deixaria de percorrer se tivesse optado por fazer a travessia pela faixa de pedestre que liga O a C. Nesse contexto, é correto afirmar:

  1. A

    d < 2

  2. B

    2 ≤ d < 5

  3. C

    5 ≤ d ≤ 8

  4. D

    8 < d ≤ 11

  5. E

    11 < d

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Gabarito: C

Use a distância entre dois pontos: √((Δx)² + (Δy)²).

1. Trajeto O → B → C

OB = √(13² + 15²) = √(169 + 225) = √394 ≈ 19,8 m
BC = √((29 − 13)² + (−8 + 15)²) = √(256 + 49) = √305 ≈ 17,5 m
OB + BC ≈ 37,3 m

2. Trajeto direto O → C

OC = √(29² + 8²) = √(841 + 64) = √905 ≈ 30,1 m

3. Diferença

d ≈ 37,3 − 30,1 = 7,2 m, que está entre 5 e 8.

Resposta: C (5 ≤ d ≤ 8).

Por que as outras atraem: arredondar as raízes de forma grosseira (√394 ≈ 20, √305 ≈ 17, √905 ≈ 30) dá d ≈ 7, ainda em C; mas quem soma os catetos em vez de calcular a hipotenusa chega a valores muito maiores e marca E.

Dica: para estimar raízes, use quadrados conhecidos: 19² = 361 e 20² = 400, então √394 ≈ 19,8.

Questão 2 · Fuvest 2025 · Questão 77fácil

Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações

x2 + y2 − 4x = −3 e x2 + y2 − 4y = −3

representam

  1. A

    duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.

  2. B

    duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.

  3. C

    duas circunferências que se interceptam em um único ponto.

  4. D

    duas circunferências concêntricas e que não se interceptam.

  5. E

    duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.

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Gabarito: E

Complete os quadrados para achar centro e raio.

1. Primeira equação

x² − 4x + y² = −3
(x − 2)² − 4 + y² = −3 → (x − 2)² + y² = 1
Centro (2, 0), raio 1.

2. Segunda equação

x² + y² − 4y = −3
x² + (y − 2)² = 1
Centro (0, 2), raio 1.

3. Posição relativa

Distância entre os centros: d = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,83.
Soma dos raios: 1 + 1 = 2.
Como d > 2, as circunferências são externas: não se interceptam, e os centros são distintos.

Resposta: E

Por que as outras atraem: A acerta os raios iguais, mas só haveria dois pontos comuns se d < 2.

Dica: compare a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios: d > R + r → externas; d = R + r → tangentes; |R − r| < d < R + r → secantes.

Questão 3 · Fuvest 2020 · Questão 22média

Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x² + y² − 2x − 6y + 2 = 0. É correto afirmar que F

  1. A

    é um conjunto vazio.

  2. B

    tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

  3. C

    tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.

  4. D

    tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.

  5. E

    tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

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Gabarito: D

1. O círculo

x² + y² − 2x − 6y + 2 = 0 → (x − 1)² + (y − 3)² = 8: centro (1, 3) e raio 2√2.

2. Equidistante dos eixos: |x| = |y|, isto é, y = x ou y = −x.

3. Reta y = x

x² + x² − 2x − 6x + 2 = 0 → x² − 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3

Os dois valores são positivos: 2 pontos no 1º quadrante.

4. Reta y = −x

x² + x² − 2x + 6x + 2 = 0 → x² + 2x + 1 = 0 → x = −1 (raiz dupla)

Ponto (−1, 1): 1 ponto no 2º quadrante (a reta é tangente ao círculo).

Total: 3 pontos, dois no 1º quadrante e um no 2º.

Resposta: D

Por que as outras atraem: (E) conta a raiz dupla como dois pontos.

Dica: "equidistante dos eixos" é |x| = |y|: não esqueça a reta y = −x.

Questão 4 · Fuvest 2012 · Questão 65fácil

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

  1. A

    √5

  2. B

    2√5

  3. C

    5

  4. D

    3√5

  5. E

    10

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Gabarito: C

1. Centro. Se a circunferência toca o eixo Ox em (5, 0), o centro está na vertical desse ponto, à distância r do eixo. Como passa por (1, 2), acima do eixo, o centro é (5, r).

2. O ponto (1, 2) está na circunferência:
(1 − 5)² + (2 − r)² = r²
16 + 4 − 4r + r² = r²
20 = 4r → r = 5.

Conferindo: centro (5, 5); distância a (1, 2) = √(16 + 9) = 5.

Resposta: C (5).

Dica: circunferência tangente a um eixo tem o raio igual à distância do centro a esse eixo; isso já dá uma coordenada do centro em função de r.