Fuvest · Matemática

Questões de Funções afim e quadrática da Fuvest

12 questões oficiais da Fuvest sobre Funções afim e quadrática, de 2010 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 7 médias, 2 difíceis.

Treine Funções afim e quadrática com 12 questões da Fuvest

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4 questões de Funções afim e quadrática resolvidas

Questão 1 · Fuvest 2020 · Questão 18média

A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?

A
R$ 2.000,00
B
R$ 3.200,00
C
R$ 3.600,00
D
R$ 4.000,00
E
R$ 4.800,00

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Gabarito: C

Seja x o número de reais de desconto.

Preço: 10 − x
Quantidade: 200 + 100x

Arrecadação:

R(x) = (10 − x)(200 + 100x) = 100(10 − x)(2 + x)

É uma parábola com a concavidade para baixo e raízes x = 10 e x = −2. O máximo fica no meio das raízes:

x = (10 + (−2)) / 2 = 4

R(4) = (10 − 4)(200 + 400) = 6 × 600 = R$ 3.600,00

Resposta: C

Por que as outras atraem: (A) R$ 2.000,00 é a arrecadação sem desconto; (B) e (D) correspondem a descontos de R$ 2,00 e R$ 5,00, que não são o máximo.

Dica: na parábola escrita como produto (x − r₁)(x − r₂), o vértice está na média das raízes.

Questão 2 · Fuvest 2015 · Questão 45média

A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.

O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

A
60
B
90
C
120
D
150
E
180

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Gabarito: D

Coloque a origem no pé do penhasco, sob o ponto de lançamento: x é a distância percorrida por P e y, a altura.

1. Raízes da parábola: o projétil toca o solo em x = 30. O vértice está em x = 10, então, por simetria, a outra raiz fica à mesma distância do vértice, do outro lado: 10 − 20 = −10.

y = a(x + 10)(x − 30)

2. Usar a altura máxima: em x = 10, y = 200:
a × 20 × (−20) = 200 → −400a = 200 → a = −1/2

3. Altura no lançamento (x = 0):
y = −1/2 × (0 + 10)(0 − 30) = −1/2 × (−300) = 150 m

Resposta: D

Dica: com vértice e uma raiz, a simetria dá a outra raiz; a forma fatorada y = a(x − x₁)(x − x₂) resolve rápido.

Questão 3 · Fuvest 2013 · Questão 32média

O imposto de renda devido por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das deduções do valor dos rendimentos tributáveis. O gráfico dessa função, representado na figura, é a união dos segmentos de reta OA, AB, BC, CD e da semirreta DE. João preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo o valor de R$ 43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração, ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que comprovava uma renda tributável adicional de R$ 1.000,00. Ao corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor do imposto devido será acrescido de

A
R$ 100,00
B
R$ 200,00
C
R$ 225,00
D
R$ 450,00
E
R$ 600,00

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Gabarito: C

A base de cálculo passa de R$ 43.800,00 para R$ 44.800,00. Os dois valores estão entre 37.500 e 47.000, no segmento CD, onde o gráfico é uma reta.

1. Inclinação de CD:
- variação do imposto: 4.237,50 − 2.100,00 = 2.137,50
- variação da base: 47.000 − 37.500 = 9.500
- taxa = 2.137,50 ÷ 9.500 = 0,225 (22,5%)

2. Acréscimo:
1.000 × 0,225 = R$ 225,00

Resposta: C

Por que as outras atraem: quem pensa que o imposto é proporcional à base inteira tenta usar a razão imposto/base de um ponto, que dá outro valor.

Dica: num gráfico formado por segmentos, a variação de y dentro de um segmento é a inclinação dele vezes a variação de x. Confira antes se os dois valores caem no mesmo trecho.

Questão 4 · Fuvest 2011 · Questão 21fácil

Sejam f(x) = 2x − 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a

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Gabarito: D

1. Montar a equação: f(g(x)) = 2·g(x) − 9. Então
2·g(x) − 9 = g(x) → g(x) = 9

2. Resolver:
x² + 5x + 3 = 9 → x² + 5x − 6 = 0 → (x + 6)(x − 1) = 0
Raízes: x = 1 e x = −6

3. Soma dos valores absolutos:
|1| + |−6| = 7

Por que as outras atraem: a soma das raízes (sem módulo) é −5; quem usa 5 sem perceber o sinal marca B.

Resposta: D

Dica: trate g(x) como uma incógnita só; resolver primeiro em g evita expandir a composta.