Questões de Equações e inequações da Fuvest

Seja n o número inicial de funcionários.

1. Montar a equação: cada um pagaria 200/n; com 2 desistências, cada um paga 200/(n − 2), que é R$ 5,00 a mais:
200/(n − 2) − 200/n = 5

2. Resolver: multiplicando por n(n − 2):
200n − 200(n − 2) = 5n(n − 2)
400 = 5n² − 10n
n² − 2n − 80 = 0 → n = 10 (a raiz −8 não serve).

3. Valor pago por quem ficou: 200 ÷ (10 − 2) = R$ 25,00 (antes seriam R$ 20,00; diferença de R$ 5,00 ✔).

Por que as outras atraem: R$ 20,00 é o valor originalmente previsto, não o pago por quem ficou.

Resposta: D

Dica: teste as alternativas: 200/25 = 8 pessoas e 200/20 = 10 pessoas; diferença de 2 pessoas e de R$ 5,00. Confirma rápido.

Sejam L, P e R as passagens para Lisboa, Paris e Roma.

1. Paris é o dobro dos outros dois

P = 2(L + R) → total = 3(L + R) = 78 → L + R = 26 e P = 52

2. Roma tem 2 a mais que metade de Lisboa

R = L/2 + 2 → L + L/2 + 2 = 26 → 3L/2 = 24 → L = 16 e R = 10

3. Paris e Roma juntas

52 + 10 = 62

Resposta: D

Por que as outras atraem: (A) 26 é L + R; (C) 42 é P − R; (E) 68 é P + L.

Dica: quando um valor é "o dobro dos outros juntos", o total vira 3 partes iguais, e a conta fica imediata.

Chame de m o número de filhas (mulheres) e de h o número de filhos (homens).

1. Olhando de uma filha

Ela tem m − 1 irmãs (não conta a si mesma) e h irmãos:

m − 1 = h/2

2. Olhando de um filho

Ele tem h − 1 irmãos e m irmãs:

h − 1 = m

3. Resolvendo

Substituindo m = h − 1 na primeira: (h − 1) − 1 = h/2 → h − 2 = h/2 → h = 4

Então m = 3. Total: 4 + 3 = 7.

Conferindo: cada filha tem 2 irmãs e 4 irmãos (2 é metade de 4); cada filho tem 3 irmãos e 3 irmãs.

Resposta: C

Dica: em problemas de irmãos, a pessoa não é irmã de si mesma: sempre subtraia 1 do grupo a que ela pertence.

Seja x o valor na poupança. O resto, 1.000.000 − x, vai para o fundo.

1. Rendimento em um ano.
0,06x + 0,075(1.000.000 − x) = 0,06x + 75.000 − 0,075x = 75.000 − 0,015x

2. Condição.
75.000 − 0,015x ≥ 72.000
0,015x ≤ 3.000
x ≤ 200.000

Faz sentido: se tudo fosse para o fundo, renderia R$ 75.000. Cada real tirado do fundo e posto na poupança perde 1,5 centavo; para perder no máximo R$ 3.000, cabem 3.000 ÷ 0,015 = R$ 200.000 na poupança.

Resposta: A

Dica: escreva o rendimento em função de uma só variável e monte a desigualdade; "pelo menos" vira ≥.

Sejam h o número de homens e m o de mulheres no início.

1. Saem 31 mulheres: ficam 2 homens para cada mulher.
h = 2(m − 31)

2. Saem 55 homens: ficam 3 mulheres para cada homem.
m − 31 = 3(h − 55)

3. Resolvendo. Chame x = m − 31 (mulheres que ficaram). Então h = 2x e
x = 3(2x − 55) = 6x − 165 → 5x = 165 → x = 33.

Logo h = 66 e m = 33 + 31 = 64.

4. Total inicial: n = 66 + 64 = 130.

Conferindo: depois da saída das mulheres, 66 homens e 33 mulheres (2 para 1); depois da saída dos homens, 11 homens e 33 mulheres (3 para 1).

Resposta: D (130).

Dica: quando duas razões mudam por saídas sucessivas, escolha como incógnita o grupo que fica fixo entre as etapas (aqui, as mulheres restantes).

Seja p o valor de cada parcela. O preço total é sempre o mesmo:
n × p = (n − 3)(p + 60) = (n − 5)(p + 125)

1. Primeira igualdade:
np = np + 60n − 3p − 180 → 3p = 60n − 180 → p = 20n − 60

2. Segunda igualdade:
np = np + 125n − 5p − 625 → 5p = 125n − 625 → p = 25n − 125

3. Igualando:
20n − 60 = 25n − 125 → 5n = 65 → n = 13

Conferindo: p = 200, total = 2 600; 10 × 260 = 2 600 e 8 × 325 = 2 600.

Resposta: A (13).

Dica: em problemas de parcelas, o total é o invariante: escreva-o de cada maneira e iguale.