7 questões oficiais da Fuvest sobre Análise combinatória, de 2007 a 2024, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 3 médias, 1 difícil.
Treine Análise combinatória com 7 questões da Fuvest
Escolha o nível e treine só este assunto, com correção na hora e o seu progresso salvo. O treino por assunto faz parte do plano da prova.
Um relógio digital utiliza os seguintes numerais para representar um determinado horário:
Esse relógio está colocado sobre uma mesa de vidro, de forma que o vidro reflete o horário em sua superfície. A figura mostra um exemplo dessa situação:
De 00:00 até as 23:59, quantas vezes o vidro refletirá um horário válido?
A
96
B
360
C
540
D
640
E
960
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Gabarito: B
O vidro reflete na vertical (de cima para baixo): cada algarismo vira de cabeça para baixo, sem trocar de posição. Foi o que aconteceu no exemplo: 18:02 virou 18:05.
1. Algarismos que continuam válidos ao refletir
No mostrador de 7 segmentos: 0 → 0, 1 → 1, 3 → 3, 8 → 8, 2 → 5 e 5 → 2. Os algarismos 4, 6, 7 e 9 viram símbolos que não são números.
2. Horas (H1H2)
H1 pode ser 0 ou 1 (refletem em 0 e 1). Se H1 = 2, o reflexo começa com 5, hora inválida.
H2: qualquer um dos 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 5, 8); com H1 = 0 ou 1, o reflexo fica entre 00 e 18.
Total: 2 × 6 = 12.
3. Minutos (M1M2)
M1 ≤ 5: 0, 1, 2, 3 ou 5 (refletem em 0, 1, 5, 3, 2, todos ≤ 5) → 5 opções.
M2: 6 opções.
Total: 5 × 6 = 30.
4. Total
12 × 30 = 360
Resposta: B
Dica: em contagens com restrições, decida primeiro quais símbolos são permitidos e depois aplique as restrições de cada posição.
Questão 2 · Fuvest 2023 · Questão 84fácil
Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física. O número de provas distintas possíveis, sem levar em conta a ordem em que as questões aparecem, é:
A
42
B
54
C
62
D
72
E
84
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Gabarito: E
A ordem não importa, então são combinações. As escolhas de Matemática e de Física são independentes, e pelo princípio multiplicativo:
Por que as outras atraem: quem soma em vez de multiplicar, ou calcula C(8,6) errado, chega a valores menores (como 54 ou 62).
Dica: escolher 6 de 8 é o mesmo que escolher as 2 que ficam de fora: C(n,p) = C(n, n−p).
Questão 3 · Fuvest 2022 · Questão 30fácil
Atualmente, no Brasil, coexistem dois sistemas de placas de identificação de automóveis: o padrão Mercosul (o mais recente) e aquele que se iniciou em 1990 (o sistema anterior, usado ainda pela maioria dos carros em circulação). No sistema anterior, utilizavam-se 3 letras (em um alfabeto de 26 letras) seguidas de 4 algarismos (de 0 a 9). No padrão Mercosul adotado no Brasil para automóveis, são usadas 4 letras e 3 algarismos, com 3 letras nas primeiras 3 posições e a quarta letra na quinta posição, podendo haver repetições de letras ou de números. A figura ilustra os dois tipos de placas.
Dessa forma, o número de placas possíveis do padrão Mercosul brasileiro de automóveis é maior do que o do sistema anterior em
A
1,5 vezes.
B
2 vezes.
C
2,6 vezes.
D
2,8 vezes.
E
3 vezes.
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Gabarito: C
Use o princípio multiplicativo (26 letras, 10 algarismos, com repetição).
Faz sentido: o Mercosul troca um algarismo (10 opções) por uma letra (26 opções).
Resposta: C
Dica: em razões entre contagens, simplifique os fatores comuns antes de multiplicar; quase sempre a conta fica imediata.
Questão 4 · Fuvest 2013 · Questão 24fácil
Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é
A
menor que 7%.
B
maior que 7%, mas menor que 10%.
C
maior que 10%, mas menor que 13%.
D
maior que 13%, mas menor que 16%.
E
maior que 16%.
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Gabarito: B
Total de jogos. Cada par de times joga duas vezes (ida e volta). É o mesmo que contar pares ordenados de times distintos: 20 × 19 = 380 jogos
Jogos entre paulistas. Pares ordenados entre os 6 paulistas: 6 × 5 = 30 jogos
Porcentagem: 30 ÷ 380 ≈ 0,079 = 7,9%
Está entre 7% e 10%.
Resposta: B
Dica: quando a fração é a mesma nos dois turnos, dá para usar só um: C(6,2) ÷ C(20,2) = 15 ÷ 190, o mesmo 7,9%.
Questão 5 · Fuvest 2008 · Questão 38média
Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a
A
928
B
1152
C
1828
D
2412
E
3456
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Gabarito: E
Conte por etapas (princípio multiplicativo):
1. Família Sousa: escolhe o banco (3 modos) e se arruma nele (3! = 6) → 18.
2. Lúcia e Mauro: vão para um dos 2 bancos restantes (2 modos). Num banco de 3 lugares há 2 pares de lugares vizinhos, e o casal pode trocar de lado (2) → 2 × 2 × 2 = 8.
3. Outras 4 pessoas: ocupam os 4 lugares que sobraram em 4! = 24 modos.
Total: 18 × 8 × 24 = 3.456.
Resposta: E (3456).
Por que as outras atraem: esquecer a troca de lugar entre Lúcia e Mauro, ou a escolha do banco da família, dá metade ou um terço do total.
Dica: em problemas com restrições, posicione primeiro os grupos restritos e só depois os livres.
Questão 6 · Fuvest 2007 · Questão 38média
Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
A
71
B
75
C
80
D
83
E
87
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Gabarito: A
A comissão tem 5 dos 9 alunos. O único problema é Andréia junto com Manoel ou Alberto.
1. Comissões sem Andréia. Escolhem-se 5 entre os outros 8: C(8, 5) = 56
2. Comissões com Andréia. Manoel e Alberto ficam de fora; os outros 4 membros saem dos 6 restantes: C(6, 4) = 15
Total: 56 + 15 = 71
Resposta: A.
Por que as outras atraem: quem faz C(9, 5) = 126 menos só as comissões com Andréia e Manoel (ou só com Andréia e Alberto) erra a contagem; dividir em "com" e "sem" Andréia evita isso.
Dica: quando a restrição envolve uma pessoa, separe os casos "com ela" e "sem ela".
