Famema · Matemática

Questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos da Famema

5 questões oficiais da Famema sobre Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos, de 2017 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 médias, 2 difíceis.

Treine Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos com 5 questões da Famema

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Treinar Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos

3 questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos resolvidas

Questão 1 · Famema 2026 · Questão 17média

A hipotenusa de um triângulo retângulo que possui um dos catetos medindo 2 cm está sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm, conforme mostra a figura.

Sabendo que esses dois triângulos são semelhantes, a área da região destacada em cinza na figura é

A
45 cm².
B
36 cm².
C
32 cm².
D
39 cm².
E
42 cm².

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Gabarito: A

A região cinza é o triângulo grande menos o triângulo branco.

1. Triângulo grande
Catetos 8 cm e 12 cm → área = (8 × 12) ÷ 2 = 48 cm²

2. Triângulo branco
Na figura, os catetos do triângulo branco são paralelos aos do grande: o cateto de 2 cm é paralelo ao de 8 cm, e o outro cateto, paralelo ao de 12 cm. Pela semelhança, a razão é 2/8 = 1/4, então o outro cateto mede 12 ÷ 4 = 3 cm.
Área = (2 × 3) ÷ 2 = 3 cm²

(Também pela razão das áreas: 48 × (1/4)² = 3 cm².)

3. Região cinza
48 − 3 = 45 cm²

Resposta: A (45 cm²).

Por que as outras atraem: B (36 cm²) vem de usar a razão linear 1/4 direto na área (48 × 1/4 = 12; 48 − 12 = 36); E (42 cm²) aparece quando se supõe que o triângulo branco tem catetos 2 e 6 (48 − 6).

Dica: em figuras semelhantes, áreas variam com o quadrado da razão de semelhança.

Questão 2 · Famema 2021 · Questão 13média

A figura representa uma arquibancada com degraus de mesma altura (x metros) e mesma extensão (y metros).

fora de escala

O valor de x + y será igual a

A
1,85 m.
B
1,80 m.
C
1,90 m.
D
1,75 m.
E
1,95 m.

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Gabarito: D

Pela figura, o olho da pessoa no degrau mais alto está a 0,8 m acima desse degrau e a 2,9 m do chão; a pessoa está sobre 3 degraus de altura x.

1. Altura x
3x + 0,8 = 2,9 → 3x = 2,1 → x = 0,7 m

2. Extensão y
A linha de visão desce a 45°, então o triângulo retângulo é isósceles: o cateto horizontal também mede 2,9 m.
Esse cateto vai do olho até o ponto no chão: são os 2 degraus de extensão y entre o primeiro e o último espelho do degrau, mais 1,1 m, menos os 0,3 m entre o espelho do degrau e o olho:
2y + 1,1 − 0,3 = 2,9 → 2y = 2,1 → y = 1,05 m

3. Soma
x + y = 0,7 + 1,05 = 1,75 m

Resposta: D

Dica: ângulo de 45° num triângulo retângulo significa catetos iguais — transforme a altura em distância horizontal.

Questão 3 · Famema 2017 · Questão 12difícil

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 6 cm e AFE é um triângulo retângulo de hipotenusa AE. Considere que AD = AF e DE = 4 cm.

Sabendo que os pontos A, D e E estão alinhados, o valor da área destacada, em cm², é

A
24.
B
18.
C
22.
D
20.
E
16.

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Gabarito: B

A área destacada é o quadrado menos a parte do triângulo AFE que fica dentro dele (o quadrilátero AFGD).

1. Triângulo AFE: AE = AD + DE = 6 + 4 = 10; AF = AD = 6. Por Pitágoras (ângulo reto em F): FE² = 10² − 6² = 64 → FE = 8. Área AFE = 6 × 8 ÷ 2 = 24.

2. Triângulo GDE: tem ângulo reto em D e o ângulo E em comum com AFE, então é semelhante a ele: GD/DE = AF/FE → GD/4 = 6/8 → GD = 3. Área GDE = 4 × 3 ÷ 2 = 6.

3. Quadrilátero AFGD: 24 − 6 = 18.

4. Área destacada: 36 − 18 = 18 cm².

Resposta: B

Por que as outras atraem: 24 (A) é a área do triângulo AFE inteiro; quem esquece de tirar a parte GDE, que fica fora do quadrado, erra a área de dentro.

Dica: triângulos retângulos que dividem um ângulo agudo são semelhantes; use isso para achar medidas "escondidas".