Famema · Matemática

Questões de Análise combinatória da Famema

8 questões oficiais da Famema sobre Análise combinatória, de 2016 a 2026, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 3 fáceis, 4 médias, 1 difícil.

Treine Análise combinatória com 8 questões da Famema

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6 questões de Análise combinatória resolvidas

Questão 1 · Famema 2026 · Questão 11média

Em determinado dia, Verônica e Vanessa visitarão um total de 9 lojas e escolherão quais lojas cada uma delas irá visitar, de maneira que cada loja seja visitada por apenas uma delas. Uma das lojas está localizada perto da casa de Verônica; por isso, se, na divisão das lojas a serem visitadas, Verônica for visitar a loja que fica próxima à sua casa, ela visitará 6 lojas, e Vanessa visitará as outras 3 lojas. No entanto, se, nessa divisão, Verônica não for visitar a loja que está localizada perto de sua casa, Vanessa visitará 5 lojas e Verônica visitará as outras 4 lojas. O número de maneiras distintas de Verônica e Vanessa escolherem as lojas que cada uma irá visitar é

A
135.
B
108.
C
117.
D
144.
E
126.

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Gabarito: E

Chame de L a loja perto da casa de Verônica. Há 9 lojas: L e outras 8. Separe em dois casos.

1. Verônica visita L
Ela visita 6 lojas: L e mais 5 das outras 8. Vanessa fica com as 3 restantes.
C(8, 5) = C(8, 3) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56

2. Verônica não visita L
Então L fica com Vanessa, que visita 5 lojas: L e mais 4 das outras 8. Verônica fica com as outras 4.
C(8, 4) = (8 × 7 × 6 × 5) ÷ (4 × 3 × 2 × 1) = 70

3. Total
56 + 70 = 126

Resposta: E (126).

Por que as outras atraem: quem usa as 9 lojas nos dois casos, sem fixar L, chega a C(9, 6) + C(9, 4) = 84 + 126 = 210, que não está nas alternativas; trocar 5 por 4 em um dos casos leva a valores como 112 ou 140, próximos de A, C e D.

Dica: quando um elemento muda a regra, fixe-o primeiro e conte os casos separadamente (princípio aditivo).

Questão 2 · Famema 2025 · Questão 12fácil

Uma empresa disponibiliza a seus 8 funcionários duas opções de horário de almoço, um que se inicia às 12h e outro às 13h, de maneira que, em cada horário, devem almoçar 4 funcionários, que podem decidir entre si a distribuição de funcionários por horário. Dois funcionários preferem almoçar às 12h, três funcionários preferem almoçar às 13h e os outros três funcionários aceitam almoçar em qualquer horário.

O número de maneiras distintas de esses funcionários se distribuírem nessas duas opções de horário de almoço, de acordo com as preferências manifestadas, é:

A
12.
B
3.
C
6.
D
2.
E
24.

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Gabarito: B

Cada horário recebe exatamente 4 pessoas.

Às 12h já estão os 2 que preferem esse horário: faltam 2 lugares.
Às 13h já estão os 3 que preferem esse horário: falta 1 lugar.

Dos 3 flexíveis, basta escolher quais 2 vão às 12h (o outro vai às 13h):

C(3, 2) = 3 maneiras.

Resposta: B

Por que as outras atraem: C (6) ou E (24) aparecem quando se conta a ordem das pessoas, mas aqui só importa o grupo de cada horário.

Dica: preencha primeiro as vagas obrigatórias; conte só as escolhas que sobram.

Questão 3 · Famema 2024 · Questão 12média

O número de anagramas distintos da palavra FAMEMA que começam e terminam com uma mesma letra é

A
20.
B
28.
C
8.
D
12.
E
24.

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Gabarito: E

FAMEMA tem 6 letras: F, A, M, E, M, A. Só A e M se repetem, então a primeira e a última letra iguais só podem ser A...A ou M...M.

A A: no meio ficam F, M, E, M (M repetido): 4!/2! = 12.

M M: no meio ficam F, A, E, A (A repetido): 4!/2! = 12.

Total: 12 + 12 = 24.

Resposta: E

Por que as outras atraem: D (12) conta só um dos casos; quem esquece de dividir pela repetição chega a 48, que não está nas alternativas.

Dica: em anagramas com letras repetidas, divida pelo fatorial de cada repetição.

Questão 4 · Famema 2020 · Questão 14média

Em uma classe há 9 alunos, dos quais 3 são meninos e 6 são meninas. Os alunos dessa classe deverão formar 3 grupos com 3 integrantes em cada grupo, de modo que em cada um dos grupos haja um menino. O número de maneiras que esses grupos podem ser formados é

A
30.
B
60.
C
120.
D
90.
E
15.

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Gabarito: D

Cada grupo tem exatamente um menino, então os 3 meninos "identificam" os 3 grupos. Basta distribuir as 6 meninas, 2 em cada grupo.

1. Grupo do 1º menino: C(6, 2) = 15

2. Grupo do 2º menino: C(4, 2) = 6

3. Grupo do 3º menino: C(2, 2) = 1

Total: 15 × 6 × 1 = 90

Resposta: D

Por que as outras atraem: E (15) é só a escolha do primeiro grupo. A (30) aparece quando se divide por 3! sem necessidade: os grupos já são diferentes porque cada um tem um menino diferente.

Dica: só divida pela permutação dos grupos quando eles forem indistinguíveis.

Questão 5 · Famema 2019 · Questão 14média

Determinado curso universitário oferece aos alunos 7 disciplinas opcionais, entre elas as disciplinas A e B, que só poderão ser cursadas juntas. Todo aluno desse curso tem que escolher pelo menos uma e no máximo duas disciplinas opcionais por ano. Assim, o número de maneiras distintas de um aluno escolher uma ou mais de uma disciplina opcional para cursar é

A
18.
B
21.
C
11.
D
13.
E
16.

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Gabarito: E

Separe pelo número de disciplinas escolhidas.

1. Uma disciplina: A e B só podem ser cursadas juntas, então nenhuma delas pode ser escolhida sozinha. Sobram as outras 5: 5 maneiras.

2. Duas disciplinas:
- o par {A, B}: 1 maneira;
- duas entre as outras 5: C(5, 2) = (5 · 4) ÷ 2 = 10 maneiras.

(Pares com só uma de A ou B não valem.)

3. Total: 5 + 1 + 10 = 16

Resposta: E

Por que as outras atraem: quem esquece a restrição faz 7 + C(7, 2) = 7 + 21 = 28; quem conta só os pares chega a 11 (C).

Dica: em contagem com restrição, separe em casos que não se misturam e some.

Questão 6 · Famema 2018 · Questão 12fácil

Três tubos de ensaio, com rótulos A, B e C, serão colocados em um suporte que possui cinco lugares alinhados e encontra-se fixado em uma parede. A figura mostra uma das possíveis disposições dos tubos.

Sabendo que o tubo com o rótulo A não pode ocupar as extremidades do suporte, o número de maneiras distintas de esses tubos serem colocados nesse suporte é

A
12.
B
24.
C
36.
D
18.
E
30.

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Gabarito: C

O suporte tem 5 lugares e 3 tubos distintos (A, B e C); dois lugares ficam vazios.

1. Tubo A. Não pode ficar nas extremidades: sobra um dos 3 lugares do meio → 3 opções.

2. Tubo B. Qualquer um dos 4 lugares restantes → 4 opções.

3. Tubo C. Qualquer um dos 3 lugares restantes → 3 opções.

Total: 3 × 4 × 3 = 36 maneiras.

Resposta: C

Outro caminho: sem restrição, são 5 × 4 × 3 = 60 disposições; A fica numa extremidade em 2 × 4 × 3 = 24 delas; 60 − 24 = 36.
Dica: em contagem com restrição, comece sempre pelo elemento restrito.