Questão 1 · Unicamp 2025 · Questão 58média
A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.
Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo t, denotada por Q(t), é dada por
Q(t) = 20 + 2 sen(t) – 4 cos(t),
em que t representa o tempo medido em anos e Q(t) é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função Q(t), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo t é:
Em todos os gráficos, o eixo vertical é Q(t), com marcas 5, 10, 15, 20 e 25, e o eixo horizontal é t, com marcas 0, 2, 4, 6 e 8.
- A
- B
- C
- D
Ver gabarito e resolução
1. Valor inicial: Q(0) = 20 + 2 · 0 − 4 · 1 = 16. Isso já elimina C e D, que começam em 20.
2. Faixa de valores: a expressão 2 sen t − 4 cos t é uma senoide de amplitude √(2² + 4²) = √20 ≈ 4,5. Então Q oscila entre cerca de 20 − 4,5 ≈ 15,5 e 20 + 4,5 ≈ 24,5, sempre em torno de 20, com período 2π ≈ 6,3 anos.
3. Comparar: o gráfico A começa em 16, sobe até cerca de 24,5 perto de t ≈ 2,7, desce até cerca de 15,5 perto de t ≈ 5,8 e volta a subir: oscilação regular em torno de 20. O gráfico B começa em 16, mas desce até cerca de 4, abaixo do mínimo possível, e não é periódico.
Resposta: A
Dica: a sen t + b cos t sempre oscila entre −√(a² + b²) e +√(a² + b²); some a constante para saber o centro da oscilação.
