Questões de Semelhança, Pitágoras e relações em triângulos da Unicamp

Com r = 1: OA = OC = OP = 1 e BC = 1.

1. Triângulo OCB

OC = CB = 1, então ele é isósceles e os ângulos da base são iguais: ∠COB = ∠CBO = 15°.

2. Ângulo OCA

∠OCA é externo ao triângulo OCB: ∠OCA = 15° + 15° = 30°.

3. Triângulo OAC

OA = OC, então ∠OAC = ∠OCA = 30° e ∠AOC = 180° − 60° = 120°.

4. Ângulo AOP

P, O e B estão alinhados, logo ∠AOP + ∠AOC + ∠COB = 180°: ∠AOP = 180° − 120° − 15° = 45°.

5. Lei dos cossenos no triângulo AOP

AP² = 1² + 1² − 2 × 1 × 1 × cos 45° = 2 − √2, então AP = √(2 − √2).

Resposta: A

Por que as outras atraem: usar o ângulo de 135° (suplemento) dá √(2 + √2), a alternativa B.

Dica: segmento externo igual ao raio é o sinal clássico de triângulo isósceles com o centro; o ângulo externo vale a soma dos dois internos não adjacentes.

Chame de K o quarto vértice do quadrado menor (GHKD), que encosta no lado vertical do quadrado maior, acima de E.

1. O triângulo AGD: GD é lado do quadrado e é perpendicular a AB, então AGD é retângulo em G, com AG = 4 e GD = 3. Por Pitágoras, AD = 5. Daí, no ângulo A: cos A = 4/5, sen A = 3/5 e tg A = 3/4.

2. Onde fica E: projetando sobre AC, o caminho A → D → K vale AD + (projeção de DK). DK é paralelo a AB e mede 3, então sua projeção sobre AC é 3 × cos A = 3 × 4/5 = 2,4. Como K está na vertical de E: AE = 5 + 2,4 = 7,4 cm.

3. Lado do quadrado maior: o vértice superior do quadrado maior, acima de E, está em AB. Então, no triângulo retângulo formado com A:

EF = AE × tg A = 7,4 × 3/4 = 5,55 cm = 111/20 cm.

Resposta: B

Dica: com um ângulo fixo em A, todos os triângulos retângulos com vértice em A e cateto sobre AC são semelhantes; ache tg A uma vez e use em todos.

1. Escreva c em função de a. a + b + c = 50 e b = a + 2, então c = 50 − a − (a + 2) = 48 − 2a.

2. Quando não dá triângulo. Com a ≤ b ≤ c, o triângulo só existe se o maior lado for menor que a soma dos outros dois: c < a + b. Como não foi possível, vale c ≥ a + b:
48 − 2a ≥ a + (a + 2)
46 ≥ 4a
a ≤ 11,5 cm

3. Confira. Para a = 11,5: b = 13,5 e c = 25. A ordem a ≤ b ≤ c vale, e 25 = 11,5 + 13,5: os pedaços não fecham um triângulo.

Resposta: C (11,5 cm).

Por que as outras atraem: com a = 12,5 teríamos b = 14,5 e c = 23 < 27 = a + b, e o triângulo existiria. Com 9,5 ou 10,5 o triângulo também é impossível, mas esses não são o maior valor.

Dica: desigualdade triangular: basta comparar o maior lado com a soma dos outros dois.

Ligue os centros do círculo grande (O) e do pequeno (P).

• Distância OP = R + r (os círculos são tangentes).
• Distância horizontal entre O e P: os centros grandes estão a 2R um do outro e o pequeno fica no meio → R.
• Distância vertical: o centro grande está a R do chão e o pequeno a r → R − r.

Pitágoras:

(R + r)² = R² + (R − r)²
R² + 2Rr + r² = R² + R² − 2Rr + r²
4Rr = R²
R = 4r

R/r = 4.

Resposta: C

Dica: em círculos tangentes, a distância entre os centros é a soma dos raios; monte o triângulo retângulo com as distâncias horizontal e vertical.

Seja  = 2α. Como AD é bissetriz, os ângulos BÂD e DÂC medem α.

Como AD = DB, o triângulo ABD é isósceles de base AB, e os ângulos da base são iguais:
B̂ = BÂD = α

Soma dos ângulos internos do triângulo ABC:
2α + α + 60° = 180°
3α = 120° → α = 40°

 = 2α = 80°

Resposta: C.

Dica: segmentos iguais num triângulo indicam um triângulo isósceles: marque logo os ângulos iguais.

Coloque o quadrado num sistema de eixos: A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1), D = (0, 1).

Se C é ponto médio de AE, então E = 2C − A = (2, 2).

Distância de D = (0, 1) a E = (2, 2):

DE² = (2 − 0)² + (2 − 1)² = 4 + 1 = 5
DE = √5 cm

Resposta: C

Dica: ponto médio M de AE dá E = 2M − A; depois é só Pitágoras.