Questões de Probabilidade da Unicamp

1. Total de casos: os 5 brinquedos são distribuídos entre as 5 crianças de todas as formas possíveis:
5! = 120

2. Casos favoráveis: exatamente 2 crianças pegam o próprio brinquedo.
- Escolha quais 2 acertam: C(5,2) = 10 maneiras.
- As outras 3 não podem pegar o próprio brinquedo. Com 3 crianças (1, 2, 3), as trocas em que ninguém fica com o seu são só 2: (2, 3, 1) e (3, 1, 2).
- Favoráveis: 10 × 2 = 20

3. Probabilidade:
P = 20 ÷ 120 = 1/6

Resposta: B

Por que as outras atraem: quem conta as 3 restantes de qualquer jeito (3! = 6) acha 60/120 = 1/2; quem esquece de exigir que elas errem tende a respostas maiores.

Dica: "exatamente k acertos" = escolher os k que acertam × garantir que os outros erram (permutação caótica).

Há 2025 resultados possíveis. Contamos os favoráveis pelo princípio da inclusão-exclusão.

1. Múltiplos de 3: 2025 ÷ 3 = 675.

2. Múltiplos de 7: 2025 ÷ 7 ≈ 289,3, então 289 (7 × 289 = 2023).

3. Múltiplos de 3 e de 7 (de 21): 2025 ÷ 21 ≈ 96,4, então 96 (21 × 96 = 2016). Eles foram contados duas vezes.

4. Múltiplos de 3 ou de 7: 675 + 289 − 96 = 868.

Probabilidade = 868/2025.

Resposta: A

Por que as outras atraem: B e C contam só os múltiplos de 7 ou só os de 3; quem soma 675 + 289 sem tirar a interseção conta 96 números duas vezes.

Dica: "A ou B" = n(A) + n(B) − n(A e B). Os múltiplos comuns de 3 e 7 são os múltiplos de 21.

No diagrama, os números conhecidos são: só abacaxi 10, só laranja 15, só morango 8, os três sabores 7 e laranja + morango (só esses dois) 6. As duas regiões com "?" são abacaxi + laranja e abacaxi + morango.

1. Soma das regiões com "?": 65 − (10 + 15 + 8 + 7 + 6) = 65 − 46 = 19.

Não é preciso saber cada uma separadamente: as duas são de sucos com exatamente dois sabores.

2. Sucos com exatamente dois sabores: 19 + 6 = 25.

3. Probabilidade: 25/65 = 5/13.

Resposta: A

Por que as outras atraem: quem soma o 7 (três sabores) às regiões de dois sabores chega a 32/65, que não está entre as opções; quem usa só os "?" (19/65) também erra.

Dica: em diagrama de Venn, "exatamente dois" exclui a região central, que é a dos três.

Em cada partida, qualquer que seja a escolha do primeiro jogador, o segundo empata só se escolher o mesmo símbolo: P(empate) = 1/3 e P(não empate) = 2/3.

1. Use o complementar: "pelo menos um empate" é o contrário de "nenhum empate nas três partidas".

P(nenhum empate) = (2/3) × (2/3) × (2/3) = 8/27

2. Pelo menos um empate:

1 − 8/27 = 19/27

Resposta: D (19/27).

Por que as outras atraem: quem soma só os casos com exatamente um empate (3 × 1/3 × 4/9 = 12/27) ou esquece algum caso com dois ou três empates chega a valores menores, como 16/27 a 18/27.

Dica: em "pelo menos um", calcule a chance de "nenhum" e subtraia de 1.

Ganhar cada prova: p = 2/3; perder: 1/3. Ele vence o torneio se ganhar exatamente 2 ou as 3 provas.

1. Exatamente 2 vitórias: há 3 escolhas para a prova perdida.

3 × (2/3) × (2/3) × (1/3) = 3 × 4/27 = 12/27

2. As 3 vitórias:

(2/3)³ = 8/27

3. Total: 12/27 + 8/27 = 20/27

Resposta: C (20/27).

Por que as outras atraem: 4/9 = (2/3)² esquece a terceira prova e as ordens possíveis (B); quem conta só uma ordem para "2 vitórias" chega a 4/27 + 8/27 = 12/27 = 4/9 também.

Dica: em "pelo menos k sucessos", some os casos ou use o complementar.

Seja p a probabilidade de coroa. Cara tem 2p, e as duas somam 1:

p + 2p = 1 → p = 1/3 (coroa) e 2/3 (cara).

"Mesmo resultado" em dois lançamentos: duas caras ou duas coroas.

• Duas caras: (2/3)² = 4/9
• Duas coroas: (1/3)² = 1/9

Total: 4/9 + 1/9 = 5/9

Resposta: B

Por que as outras atraem: A (1/2) seria o valor para uma moeda honesta; C (2/3) é só a probabilidade de cara num lançamento.

Dica: com eventos independentes, multiplique as probabilidades; com casos que se excluem ("ou"), some.