Questões de Geometria plana (áreas e perímetros) da Unicamp

O preço é proporcional à área. Para quatro pizzas individuais custarem o mesmo que a pizza grande, a soma das áreas deve ser igual:

4 × π·(d/2)² = π·(20/2)²
4 × d²/4 = 100
d² = 100 → d = 10 cm

Resposta: C

Por que as outras atraem: quem divide o diâmetro 20 por 4 (achando que "quatro pedaços" = quatro pizzas de 5 cm) não acha nenhuma opção; quem divide a área sem elevar ao quadrado pode marcar valores como 6 ou 8 cm.

Dica: área cresce com o quadrado do diâmetro; para ter 1/4 da área, o diâmetro cai pela metade (√(1/4) = 1/2).

Chame de h a altura do trapézio (distância entre AB e CD).

1. Altura do triângulo MBN. Tome MB, sobre AB, como base. N é ponto médio de BC, então está a meia distância entre as bases: sua distância até AB é h/2.

2. Área de MBN. MB = AB ÷ 2 = 1/2.
Área = (1/2 × h/2) ÷ 2 = h/8 = 1 → h = 8.

3. Área do trapézio. (AB + CD) × h ÷ 2 = (1 + 5) × 8 ÷ 2 = 24.

Resposta: D (24).

Por que as outras atraem: quem usa a altura inteira h para o triângulo (em vez de h/2) acha h = 4 e área 12, que não está nas opções e obriga a refazer.

Dica: o ponto médio de um lado inclinado fica exatamente na metade da altura.

1. Quadrilátero com círculo inscrito
As tangentes traçadas de um mesmo vértice têm o mesmo comprimento. Daí vem que as somas dos lados opostos são iguais (teorema de Pitot):

AB + CD = BC + DA

2. Lados em PA
AB = b − r, BC = b, CD = b + r (r > 0):
(b − r) + (b + r) = b + 3 → b = 3

Possibilidades com inteiros positivos: (2, 3, 4) com r = 1, ou (1, 3, 5) com r = 2.

3. TA inteiro
Chame de a, b', c', d os segmentos tangentes a partir de A, B, C e D (TA = a).
- DA = d + a = 3 e AB = a + b'.
- Em (1, 3, 5): a + b' = 1 com a inteiro ≥ 1 obriga b' = 0. Impossível.
- Em (2, 3, 4): a = 1, b' = 1, c' = 2, d = 2. Confere: BC = 1 + 2 = 3, CD = 2 + 2 = 4, DA = 2 + 1 = 3.

Resposta: B (2, 3, 4).

Por que as outras atraem: A também satisfaz Pitot, mas falha na condição de TA inteiro; C e D não satisfazem a soma dos lados opostos.

Dica: círculo inscrito em quadrilátero → some os lados opostos.

1. Triângulo ABN
N é ponto médio de AC. Os triângulos ABN e ABC têm a mesma altura em relação a B e base AN = AC/2:
área(ABN) = área(ABC)/2

2. Triângulo MBN
M é ponto médio de AB, e NM é mediana do triângulo ABN. A mediana divide o triângulo em duas partes de mesma área:
área(MBN) = área(ABN)/2 = área(ABC)/4

Se área(MBN) = t, então área(ABC) = 4t.

Resposta: C.

Dica: a mediana divide um triângulo em dois triângulos de mesma área (bases iguais e mesma altura).

Pela figura, a região escura é um setor de raio a, e o setor todo tem raio a + b, com o mesmo ângulo.

A área de um setor de mesmo ângulo é proporcional ao quadrado do raio. Como as duas regiões têm a mesma área, o setor grande tem o dobro da área do pequeno:

(a + b)² = 2a²
a + b = a√2
b = a(√2 − 1)

Então:

a/b = 1/(√2 − 1) = (√2 + 1)/((√2 − 1)(√2 + 1)) = √2 + 1

Resposta: B

Por que as outras atraem: D (√2) é a razão entre os raios (a + b)/a, não a/b.

Dica: figuras semelhantes (mesmo ângulo) têm áreas na razão do quadrado das medidas lineares.