Questões de Geometria analítica da Unicamp

Olimpíada de Inverno: como o curling esquentou o coração dos brasileiros?

Conhecido como o “xadrez no gelo”, a modalidade encanta pelas jogadas e pela famosa “vassourinha”. A função, claro, não é limpar o gelo como se tira o pó do chão de casa, mas alisar a pista para tornar o gelo mais ou menos liso para as pedras atingirem o alvo.

Em uma pista de gelo de 45,7 m de extensão, duas equipes competem para lançar suas pedras de 20 kg cada no alvo formado por quatro círculos concêntricos, sendo o central chamado de botão. O jogo tem mais de uma rodada.

(Adaptado de Olimpíada de Inverno: como o curling esquentou o coração dos brasileiros? Disponível em https://veja.abril.com.br/esporte/olimpiadas-de-inverno-como-o-curling-esquentou-o-coracao-dos-brasileiros/. Acesso em 04/05/2026.)

No curling, uma rodada consiste num arremesso de quatro pedras por cada equipe, de maneira alternada. Vence a rodada a equipe que tiver a pedra cujo centro está mais próximo do centro do alvo. Para calcular a pontuação da equipe vencedora, considere d a distância do centro do alvo até o centro da pedra do adversário que está mais próxima do centro do alvo. A pontuação da equipe vencedora é a quantidade de pedras dela cuja distância ao centro do alvo, medido do centro da pedra, é menor do que d.

Considere que o alvo é composto por círculos de raios 1, 2, 3 e 4, todos centrados na origem de um plano cartesiano, conforme indicado pela figura (eixos de –5 a 5).

Em uma rodada em que foram lançadas 4 pedras por cada equipe, temos a seguinte situação:

Os centros das pedras da equipe azul estão nos pontos (1, 2), (–3/2, –1), (–2, –3), (4, –1).

Os centros das pedras da equipe vermelha estão nos pontos (1/2, 1/5), (2, 0), (–1, 1), (2, –2).

Qual das equipes venceu essa rodada e quantos pontos foram feitos pela equipe vencedora nessa rodada?

Na figura a seguir, ABCD é um quadrado com lado medindo 6, e P, Q, R e S são pontos sobre os lados deste quadrado, em que AS = BQ = 2, PB = 3 e DR = 1.

(Na figura, A é o vértice superior esquerdo, B o superior direito, C o inferior direito e D o inferior esquerdo; P fica no lado AB, Q no lado BC, S no lado AD e R no lado DC. Os segmentos SQ e PR se cruzam, e a região sombreada é o triângulo formado por P, Q e esse ponto de cruzamento.)

O valor da área sombreada é igual a

Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² = 2cx. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então seu raio é igual a