Unicamp · Matemática

Questões de Funções afim e quadrática da Unicamp

13 questões oficiais da Unicamp sobre Funções afim e quadrática, de 2018 a 2027, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 5 fáceis, 7 médias, 1 difícil.

Treine Funções afim e quadrática com 13 questões da Unicamp

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3 questões de Funções afim e quadrática resolvidas

Questão 1 · Unicamp 2026 · Questão 48média

O movimento de ataque em um jogo de voleibol é mais eficiente se o atleta atingir a bola no ponto mais alto da trajetória do centro de massa da bola. A Figura 1 mostra a trajetória da bola que foi lançada pela Atleta A em direção à Atleta B.

O centro de massa da bola, ao ser lançada pela Atleta A, está a 2 metros de altura em relação ao solo. Quando a Atleta B ataca, o centro de massa da bola está a 3 metros de altura em relação ao solo.

As jogadoras estão no mesmo plano da trajetória da bola e a distância entre as jogadoras é de 9 metros. Sabe-se que a trajetória do centro de massa da bola é uma parábola e que o ataque aconteceu justamente no ponto de maior altura da parábola, conforme representado na Figura 2.

Figura 1

Figura 2

A equação da parábola que descreve a trajetória do centro de massa da bola é

A
y = (−1/9)x² + (10/9)x + 2.
B
y = (−1/99)x² + (20/99)x + 2.
C
y = (−1/81)x² + (2/9)x + 2.
D
y = (−1/4)x² + (9/2)x + 2.

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Gabarito: C

Ponha a Atleta A na origem do eixo x. Pela Figura 2:
- a bola sai em (0, 2);
- o vértice (ponto mais alto, onde B ataca) é (9, 3).

1. Forma do vértice:
y = k(x − 9)² + 3

2. Use o ponto (0, 2):
2 = k · 81 + 3 → 81k = −1 → k = −1/81

3. Desenvolva:
y = (−1/81)(x² − 18x + 81) + 3
y = (−1/81)x² + (18/81)x − 1 + 3
y = (−1/81)x² + (2/9)x + 2

Conferência: x_v = −b/2a = (2/9) ÷ (2/81) = 9 ✓.

Resposta: C

Por que as outras atraem: todas passam por (0, 2), mas só a C tem vértice em x = 9 e altura 3. A tem vértice em x = 5; D, em x = 9 mas altura muito maior.

Dica: com o vértice conhecido, comece por y = k(x − x_v)² + y_v; falta achar só k.

Questão 2 · Unicamp 2023 · Questão 56média

Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.

O valor de a + b é

A
−7,5.
B
−7.
C
−6,5.
D
−6.

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Gabarito: B

1. Parábola. Pelo gráfico, ela corta o eixo x em −2 e 1 e o eixo y em 2, com a concavidade para baixo:
y = k(x + 2)(x − 1); em x = 0: k × 2 × (−1) = 2 → k = −1
y = −(x + 2)(x − 1) = −x² − x + 2

2. Reta. Passa por (−1, 0) e (0, 2): inclinação 2, então y = 2x + 2.

3. Interseção.
−x² − x + 2 = 2x + 2
−x² − 3x = 0
x(x + 3) = 0 → x = 0 (o ponto (0, 2)) ou x = −3

P = (−3, 2 × (−3) + 2) = (−3, −4).

a + b = −3 + (−4) = −7

Resposta: B

Por que as outras atraem: errar o sinal de k (parábola com concavidade para cima) muda a interseção e leva a valores como −6 ou −7,5.

Dica: com as raízes e mais um ponto, escreva a parábola na forma fatorada y = k(x − x₁)(x − x₂).

Questão 3 · Unicamp 2021 · Questão 38média

Sejam a, b, c termos consecutivos de uma progressão geométrica sem nenhum termo nulo e p(x) o polinômio de grau 2 dado por p(x) = a + bx + cx². Se a é positivo, qual das figuras abaixo pode representar corretamente o gráfico de p(x)?

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Gabarito: A

1. Concavidade
Em uma PG, o termo do meio ao quadrado é o produto dos vizinhos: b² = ac. Como a > 0 e b ≠ 0, c = b²/a > 0. O coeficiente de x² é c, positivo: parábola com concavidade para cima (elimina D).

2. Raízes
Δ = b² − 4ac = b² − 4b² = −3b² < 0. Não há raiz real: o gráfico não toca o eixo x (elimina B e C).

3. Ponto no eixo y
p(0) = a > 0: corta o eixo y acima da origem.

Só o gráfico A tem concavidade para cima, fica todo acima do eixo x e corta o eixo y em valor positivo.

Resposta: A

Dica: em p(x) = a + bx + cx², o coeficiente de x² é c, não a. Leia a ordem dos termos com cuidado.