17 questões oficiais da Unicamp sobre Equações e inequações, de 2018 a 2027, com gabarito e resolução comentada. Dificuldade estimada: 5 fáceis, 8 médias, 4 difíceis.
Treine Equações e inequações com 17 questões da Unicamp
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Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais x, y e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades | x – 2 | ≤ 2 e | y – 3 | ≤ 1. O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?
A
x² + y² ≤ 1.
B
x + y ≥ 10.
C
x + y ≤ 8.
D
x² + y² ≥ 36.
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Gabarito: C
1. Abrir os módulos: |x − 2| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x − 2 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.
|y − 3| ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y − 3 ≤ 1 ⇔ 2 ≤ y ≤ 4.
2. Testar as alternativas: - x + y fica entre 0 + 2 = 2 e 4 + 4 = 8. Logo x + y ≤ 8 sempre vale (C) e x + y ≥ 10 nunca vale (B). - x² + y² fica entre 0 + 4 = 4 e 16 + 16 = 32. Então x² + y² ≤ 1 (A) é impossível e x² + y² ≥ 36 (D) também.
Resposta: C
Dica: |x − a| ≤ r quer dizer que x está a no máximo r de a, ou seja, a − r ≤ x ≤ a + r.
Questão 2 · Unicamp 2020 · Questão 32média
Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas dessa família é igual a
A
11.
B
9.
C
7.
D
5.
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Gabarito: C
Seja m o número de filhas e h o de filhos. Uma filha não conta a si mesma entre as irmãs; um filho não conta a si mesmo entre os irmãos.
1. Cada filha: irmãs = m − 1 e irmãos = h. Como são iguais: h = m − 1.
2. Cada filho: irmãs = m e irmãos = h − 1. Como irmãs = dobro de irmãos: m = 2(h − 1).
3. Resolvendo: m = 2(m − 1 − 1) = 2m − 4, logo m = 4 e h = 3.
Total: 4 + 3 = 7 (conferindo: cada filha tem 3 irmãs e 3 irmãos; cada filho tem 4 irmãs e 2 irmãos).
Resposta: C (7).
Dica: o erro comum é esquecer de tirar a própria pessoa da conta das irmãs ou dos irmãos.
Questão 3 · Unicamp 2020 · Questão 36média
Sabendo que a é um número real, considere a equação quadrática 2x² + ax + 10 = 0. Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a
A
3.
B
4.
C
5.
D
6.
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Gabarito: D
Pelas relações de Girard em 2x² + ax + 10 = 0:
produto das raízes: x₁ · x₂ = 10/2 = 5
soma das raízes: x₁ + x₂ = −a/2
Como as raízes são inteiras e o produto é 5 (primo), as únicas possibilidades são 1 e 5 ou −1 e −5.
A soma é 6 ou −6; em módulo, 6 (com a = −12 ou a = 12).
Resposta: D (6).
Dica: quando o produto das raízes inteiras é um número primo, as raízes só podem ser 1 e ele (ou os opostos).
Questão 4 · Unicamp 2020 · Questão 42média
Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ − x² − 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y = f(x), no plano cartesiano, em que os pontos A, B e C têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos A e C é igual a
A
2.
B
2√2.
C
3.
D
3√2.
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Gabarito: C
O ponto B está sobre o eixo y, então tem x = 0 e ordenada f(0) = 1. A e C têm a mesma ordenada: f(x) = 1.
2. Raízes: x = 0 (ponto B) e x² − x − 2 = 0 → x = −1 ou x = 2. Pelo gráfico, A tem x = −1 e C tem x = 2.
3. Distância: A e C estão na mesma horizontal, então a distância é 2 − (−1) = 3.
Resposta: C (3).
Questão 5 · Unicamp 2019 · Questão 61fácil
A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
A
10.
B
12.
C
14.
D
16.
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Gabarito: C
Escreva o número como 10a + b, com a (dezena) de 1 a 9 e b (unidade) de 0 a 9.
Condição 3(a + b) = 10a + b 3a + 3b = 10a + b 2b = 7a
Como b ≤ 9, a única solução é a = 2 e b = 7: o número é 27. Conferindo: 3 × (2 + 7) = 27.
Produto dos algarismos: 2 × 7 = 14
Resposta: C.
Dica: para números de dois algarismos, use 10a + b e lembre que a e b são inteiros de 0 a 9; isso costuma deixar uma única solução.
