Questão 1 · Unicamp 2023 · Questão 55difícil
Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000.
Considere as afirmações:
I) João comprou 108 cartelas.
II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.
III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3.
Assinale a alternativa correta:
- A
Todas as afirmações são verdadeiras.
- B
Apenas a afirmação I é verdadeira.
- C
Apenas a afirmação II é verdadeira.
- D
Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Ver gabarito e resolução
João compra as cartelas que têm pelo menos um 2 e pelo menos um 5. A cartela 2000 não tem 5, então basta olhar 0000 a 1999: o 1º dígito é 0 ou 1 (2 opções) e os outros 3 dígitos vão de 000 a 999.
I. Trincas de dígitos com 2 e 5 (inclusão-exclusão):
total − sem 2 − sem 5 + sem 2 e sem 5 = 1000 − 729 − 729 + 512 = 54.
Com 2 opções para o 1º dígito: 2 × 54 = 108. Verdadeira.
II. Cartelas com 1 e 5:
- 1º dígito 0: a trinca precisa ter 1 e 5 → 54 (mesma conta).
- 1º dígito 1: o 1 já aparece; basta a trinca ter um 5 → 1000 − 729 = 271.
Total = 54 + 271 = 325, mais que 108. Falsa.
III. Cartelas com 2, 5 e 3: a trinca tem de ser uma permutação de 2, 3 e 5 → 3! = 6. Com 2 opções para o 1º dígito: 12, não 18. Falsa.
Só a I é verdadeira.
Resposta: B
Por que as outras atraem: em II, é fácil esquecer que o 1º dígito "1" já conta como o número 1; em III, contar 18 vem de usar 3 opções para o 1º dígito.
Dica: "pelo menos um" pede inclusão-exclusão: total menos os que não têm cada algarismo, mais os que não têm nenhum dos dois.